69 353 



faa for lim. Æ = O Afstande derfra, som ere proportionale med k^, og Indhyllingskurven 

 vil ikke gaa gjennem disse. Den gaar derimod igjennem hvert af de enkelte Toppunkter. 

 (Smlgn. 14 for Kurverne o''s Vedkommende). 



43. Nye Fremstillinger af første og anden Art af Kurver med en 

 dobbelt retliniet Gren. — Udviklingerne i 42 blive ubrugelige, naar Ligning (IV), 

 der skulde bestemme de enkelte Toppunkter, er identisk. Dette kan i Almindelighed 

 finde Sted paa flere forskjellige Maader, blandt disse ogsaa derved, at 



in-l = C„-2-ii; Cn = fl„_2.è^^ (VI) 



og dette er, naar n = 2 eller n = 3, den eneste Maade('). Ligning (II) redu- 

 ceres derved til Formen 



A'„--iy'" + 2 5'„_i y'l-^ + C'Jc-' = O, (VII) 



hvor 



y' = y + b,k, (VIII) 



og hvor A\ B' og C betegne Funktioner af x og y' samt Æ, men som ikke ere delelige 

 medÆ, og blandt hvilke i alt Fald ^'„_2 ikke bliver Nul for y'^0, Æ = 0. Ved A, B og 

 C betegne vi saa nu de Funktioner af x og y, som dannes ved \ A' , B' og C at sætte 

 li = 0. a, 5 og c dannes som før af ^ , 5 og C ved at sætte y — 0. Paa Grund af, at 

 C indeholder Z;, behøve vi ikke her som før at tilføje et Resiled \p. Første Led i Række- 

 udviklingen for y' bestemmes ved 



On-iV'"- +c„Æ3 = O eller y' = +l/ ^ 



Det ses da, at Grænsekurven ^„-23/- ^ O har n enkelte Toppunkter bestemte vedc„ = 

 og tredobbelte Toppunkter i Skjæringspunkterne mellem An-2 og y = O, saa denne Kurve 

 hører til første Art, saafremt blot y ikke er Faktor i C„. 



Er y Faktor i C„, kan Ligningen (VII), idet da alle Led i C'„ blive delelige enten 

 med y' eller med Jc, omkrives til Formen 



A'„_2y'^ + 2B'n-iy'k^ 4- C\k* = O, (IX) 



som i Almindeligbed giver en ny Fremstilling af anden Art Kurver med en dobbelt ret- 

 liniet Gren (i specielle Tilfælde af første), idet de enkelte Toppunkter bestemmes ved 



^n— 1 — fln-2 c„ = 0. 

 Kun naar denne Ligning bliver identisk, vil dette ikke mere være Tilfældet. Hvis 

 Identiteten som i (VI) hidrører fra, at 



^„_l =- an-2-ii'', C„ = a„_2.^i'^5 



C) Var an— 2 = O, vilde nemlig j/ = O være en tredobbelt Gren. 



