354 70 



hvor è/ blot betegner en ny Funktion af forste Grad af x, kan ligningen paany omskrives 

 til Formen 



A"„^-2y"'' + 2B"„^xy" h^ + C'nk" = O, (X) 



idet 



y" ^ y'-lfb.'h-^ ^ y-\-hJc-\-b^'h\ (XI) 



og idet A", B" og C" betegne Funktioner af æ, y" og k, som ikke ere delelige med h. 

 (X) behandles som (VII) og fremstiller en Kurve af forste Art. 



Ved Fortsættelse af samme Fremgangsmaade vil man, naar Grunden til, at Lignin- 

 gerne 5„_i^ — a„-2C,, = O blive identiske, stadigt er den i (VI) antagne, afvexlende finde 

 Ligninger af følgende to Former: 



Å^^U 2/('-)2 + 2 ß!;l, 2/0) Æ-'+i + f/;' /•2'+' = o (Xii) 



og 



j ^2 y^"-^- + 2 B\:ly yO) 7,.+i + 6'^,:' /o2'-+2 = o, (XIII) 



hvor 



yW = y 4- j^ 7, 4- h\ r- + .... 5 if--') /c-, (XIV) 



og hvor ^W, 5*') og 6'^''^ betegne Funktioner afa-, y'-'''^ og h, som ikke ere delelige med k. 

 Ligning (XII) fremstiller Kurver, der for lim. h = Q nærme sig til en Kurve med dobbelt 

 retliniet Gren af forste Art, og hvori de Grene, der nærme sig til at falde sammen, have 



2r+l 



Afstande indbyrdes og fra den rette Linie ?/•''' = O, som ere proportionale med k ^ , me- 

 dens deres Afstande fra Grænsestillingen y ^ O ere proportionale med h. Ligning (XIII) 

 fremstiller Kurver, der for lim. Æ = O nærme sig til Kurver med en dobbelt retliniet Gren 

 af anden Art (eller hvis a„_2 gaar op i hn-\, af første Art), og hvori de Grene, der nærme 

 sig til at falde sammen, have Afstande indbyrdes og fra Linien y^'''> = O, som ere propor- 

 tionale med /i'"*"', medens deres Afstande fra Grænsestillingen y = O ere proportionale 

 med k. Slutningerne af disse Regler ville dog ofte undergaa Modifikationer, idet Koeffi- 

 cienter i Udtrykket (XIV) for y^'"* forsvinde. Dette vil saaledes Onde Sted i (XIII), naar Sy- 

 stemets Kurver skulle gaa gjennem to Punkter af Linien y = O — altsaa endog i elemen- 

 tære Systemer — eller mere almindeligt, naar Systemets Indhylliogskurve skal røre denne 

 i to Punkter: i saa Fald maa man identisk have ôj = O, 6/ = O, ...b^^''-^^ = 0; thi 

 ellers vilde det første af disse udtryk af første Grad, som ikke var Nul, bestemme det 

 eneste Røringspunkt mellem ?, = O og Indhyllingskurven (idet vi bortse fra, at, naar 

 il = O, Linien y = O selv vil udgjøre en Del af Indhyllingskurven). Ere derimod disse 

 Betingelser opfyldte, ville Røringspunkterne mellem ?/ == O og Indhyllingskurven bestemmes 

 ved 6'„W = O og have Antallet «. I saa Fald bliver y af Ordenen r+ 1. 



Vi skulle med Hensyn til Undersøgelsen af de tredobbelte og dobbelte Toppunkter 

 nøjes med at betragte Kurver af første Art fremstillede ved (VII) og Kurver af anden Art 

 fremstillede ved (IX). I begge Tilfælde ville vi antage, at vedkommende Toppunkt ligger i 



