71 



355 



Begyndelsespunktet, og at x = O er Tangent til Restkurven ^„_2, altsaa at J„_2 = 

 X -{- A2 + . ■ ., medens 



A'„-2 = x + A'.^ + . . -\- k(a + . ..). 

 Ligningen for en ret Linie gjennem Begyndelsespunktet bliver 



X = ay = a(y' — b-J^). 

 Idet vi nu ved b^ betegne det konstante Led i b^, og ved b og c de konstante Led i 

 S„_i og Cn, findes forste Led i de Rækkeudviklinger, der give de Værdier af y, som svare 

 til de Skjæriugspunkter mellem x = ay og Kurven (VII), som for h = falde i Begyndelses- 

 punktet, ved en Ligning af Formen 



ay'^ + {—ttba + a)hy'- +^bk-^y' + ck^ =0. (XV) 



Disse Værdier af y' og dermed de tilsvarende af a: og y og altsaa Afstandene fra Be- 

 gyndelsespunktet til de tre Grene, som nærme sig dertil for lim. h = 0, blive saaledes 

 uendelig smaa af forste Orden. 



Ligning (XV) faar lige Rødder, naar enten a = 00 eller 

 3« , 2(— a^'o + o), 2 6 ,0 



0,3«, 2(— a^o +fl), 2i 



O , —ab^+a, \b ,3c 



Den sidste Ligning, som bliver af tredie Grad med Hensyn til «, bestemmer Tangenterne 

 til tre Grene af Systemets Indhyllingskurve, som gaa gjennem det tredob- 

 belte Toppunkt (smlgn. Il), medens « = 00 kun bestemmer Linien 2/ = 0, af hvis 

 Skjæriugspunkter med Kurven i Almindelighed kun ét Punkt for ^ = falder i Begyndelses- 

 punkteL Kun naar èo=0, bliver ?/ = O Tangent i Begyndelsespunktet til Indhyllings- 

 kurven (eller Gren af denne); men da bliver ogsaa en af de tre Rødder i (XVI) uendelig. 

 Fremstillingsformen (VII) for Kurver af første Art kan saaledes benyttes, naar Systemets 

 Indhyllingskurve skal gaa igjennem det tredobbelte Toppunkt, hvilket ikke var Tilfældet med 

 de tidligere Fremstillingsformer (I) og (II). Kjender man Tangenten til en af Indhyllings- 

 kurvens Grene, og er altsaa en Rod a i (XVI) bekjendt, kunne Koefficienterne a, 5 og c 

 udtrykkes under rational Form ved « og b^ samt to ubekjendte Konstanter ß og y, idet 

 man har 



« (y' — ßW-(il'~Yh) = o//' + (-«èo + o) hy'^- + 2bh-^y' + clcK 

 (Smlgn. 12)1). 



= 0. 



(XVI) 



C) Andie Exempler paa Tilfælde, hvor (VII) eller andre under (XII) og (XIII) henhorende Ligninger maa 

 anvendes, frembyder min Afhandling: Nyt Bidrag til Læren om Systemer af Keglesnit, idet de til 

 Keglesnittene henhorende DobbeUlinier med to Toppunkter (A kaldes deres Antal i den anførte 

 Afhandling) som Kurver «,' hare med til de ved disse Ligninger fremstillede Kurver af første 

 Art. Naar saaledes en Dohbelllinie, der rorer en given Kurve og har et Toppunkt beliggende i 



