356 72 



Naar man vil benytte den samme Fremgangsmaade til Undersøgelse af et dobbelt 

 Toppunkt paa en Kurve af anden Art fremstillet ved (IX), maa man ombytte Ligning (XV) 

 med følgende 



«2/'" +1— «^0 +«)/^-y- +2bk^-i/ +ck^ = O, 

 som dels giver ?/ = — ^k-, der blot svarer til den Gren, som ikke medvirker til Dan- 

 nelsen af Toppunktet, dels 



a/2 _,. (_ „j^ 4. a) ktf -4- 2bk- = 0. 



Denne Ligning faar lige Rødder, naar 



85a == (a^o — rt)-, 

 som bestemmer to Værdier af a. To Grene af Indhyllingskurven gaa altsaa gjennem det 

 dobbelte Toppunkt. Man kan saaledes benytte Fremstillingen (IX) af Kurverne af anden 

 Art, naar Systemets Indhyllingskurve skal gaa igjennem et dobbelt Toppunkt. En Kurve 

 fremstillet ved Ligning (IX) tælles to Gange med i Tallet Ç. (Smlgn. 11 — 13 og 

 Bemærkningen i 42 om Ensartetheden af de dobbelte Toppunkter paa Kurverne § og paa 

 Kurverne «j eller a^]. 



44. Tredie Art Kurver af fjerde Orden med en dobbelt retliniet 

 Gren. — Ligning (II) i 42 



An-2 2/2-1-2 5„_, yk-\- C" k" + <// k^ = O 

 fremstillede, som vi saa i 42, Kurver med dobbelt retliniet Gren af anden Art (specielt 

 første), naar Ligning (IV) 



^n-i — «n— 2 ■ c„ = O, 

 der bestemte dens enkelte Toppunkter, ikke var identisk. At denne Ligning bliver identisk, 

 kan, naar h>3, opnaas paa andre Maade end antaget i (VI). Det vil saaledes, naar 

 Kurverne ere af fjerde Orden (n = 4), et Tilfælde, hvortil vi her udelukkende 

 skulle holde os, endnu opnaas paa én Maade, nemlig ved at 



a^ = Ol" , bß = a^ ^2) '^i = ^2"' (XVII) 



Ligning (II) bliver derved til 



(«1 y + b^ ^^■)' -f Cl 2/3 + C, 2/2 k+C,y k"- + C, k^ + ,/, . Æ^ = 0. (XVIII) 

 Denne Ligning giver som første Led i Rækkeudviklingen for de Værdier af y, der 



Røringspunktet (se GI i den nævnte Afh.), skal hore med til et System af Keglesnit, som have 

 Røring af anden Orden med denne Kurve, maa Systemet fremstilles ved Ligning (VII), hvilket staar 

 i nøje Forbindelse med, at denne særegne Kurve tælles 3 Gange med i k, en Omstændighed, jeg 

 paa det anførte Sted har fundet ad mere indirekte Vej. Systemets andre Betingelser kunne 

 selvfølgelig medføre, at man maa benytte en endnu senere Ligning (XII) eller (XIII), samt at den 

 særegne Kurve tælles flere Gange med i X. 



