358 74 



hvor Cl og b^ have de Værdier, som de faa for a^=Q. Man floder 



^f 



b^c^ ,i ^ Ol' 



som blive proportionale med k^ og /J. Det viser sig saaledes, at de tre Tangenter fra 

 et vilkaarligt Punkt, som nærme sig til at falde sammen i Punktets For- 

 bindelseslinie med det tredobbelte Toppunkt, danne Vinler med denne 

 Grænsestilling, som for lim. k = blive uendelig smaa af Ordeneny. Der 

 vil altsaa kun være én af dem, som er reel. 



Paa Grund af Kurvens Beliggenhed mod Hyperblen a^y + b^k==Çi samt Resikurvens 

 Torm blive Grænsestillingerne for alle Vendetangenters Røringspunkter det tredobbelte og 

 de enkelte Toppunkter. 1 hvert af disse vil der falde tre saadanne Røringspunkter sammen, 

 hvoraf ét er reelt, naar Toppunktet er det. [Se 51]. Af Dobbelttangenterne ville de 7 være 

 Tangenter fra de enkelte Toppunkter til Restkurven. De 21 andre falde sammen med 

 Dobbeltlinien og have Toppunkterne til Røringspunkter. 



Et Keglesnit, en Tangent til samme og 7 Punkter paa denne afhænge af 13 Be- 

 tingelser. Da disse kunne være elementære, vil den her beskrevne tredie Art af Kurver 

 med en dobbelt retliniet Gren være sædvanlige særegne Kurver i et System 

 af Kurver af fjerde Orden uden særegne Punkter. Vi ville betegne Antallet af 

 saadanne Kurver i et System ved ij. 



Paa Fig. 26 er 2 en saadan Overgangskurve mellem 1 og 3. Kurven h er Hyperblen a^y-\-h:t^c==0. 

 Vi have antaget, at alle 7 enkelte Toppunkter a ere reelle, hvorved ogsaa alle Dobbelttangenterne til Kurver 1 

 og 3, der ligge tilslrækkelig nær ved Grænsekurven, maa være reelle. Idet de flade Ovaler faa indadgaaende 

 Buer, bestaa Kurverne væsentligt af samme Dele som paa Fig. 25. 



45. Fjerde Art Kurver af fjerde Orden med en dobbelt retliniet Gren.— 

 Den i 44 anvendte Diskussion af Ligning (XVIII) bhver ubrugelig, naar Ligning (XIX), der 

 bestemmer dens enkelte Toppunkter, bliver identisk. Da man finder denne Ligning ved for 

 y og k at sætte b.^, og — Oj i Ligning 



Cl y'' + Cä 2/^ ^ + C3 y /f'ä + c^ Ä-3 = O, 

 maa a^y -\-b^k være Faktor i denne Lignings venstre Side (da man kan forudsætte, at Oj 

 ikke gaar op i og, idet Ligning (XVIII) i saa Fald vilde være indbefattet i (VII)). Ligning 

 (XVIII) maa saaledes kunne omskrives til 



[a.y + b^k)'' +2{c^y^ + c,yk + c,,k^){a,y + bjc) + d,y' + D,y--'k + D^y^ k'' + D.,yk^ 



-t- />4 /.•* -\-xp.k^ =0. (XX) 

 Udvikles her de Værdier af y, som forsvinde for ^- = 0, i Række, finder man, at de to 

 første Led ere følgende 



a^y = — b.i k (b^'^ c^ — a, b^ c^ + «,''^ Cj + VE) k^ , 



