360 76 



til to rette Linier, den Del af Kurven 1 eller 3, som nærmer sig dertil, faaet to flade Arme i Stedet for én, 

 dog selvfølgelig uden at forandre Antallet af reelle Dobbelt- og Vendetangenter. 



Den her anstillede Undersøgelse bliver ubrugelig, naar E (se (XXI)) identisk for- 

 svinder. I delte Tilfælde omformes (XX) paa en lignende Maade, som (XX) er dannet af 

 (XVIII). Den Art Grænsekurver, som man da faar, vil være sammensat af lo rette Dobbelt- 

 linier og have 8 enkelte Toppunkter paa den ene af disse, intet paa den anden. Da disse 

 særegne Kurver kun kunne tilfredsstille 4+8=12 elementære Beliugeiser, høre de ikke 

 med til de sædvanlige særegne Kurver. Fortsættelse af den her anvendte Behandling giver 

 kun nye Fremstillinger af disse samme Kurver. 



Vi kunne ogsaa se, at vi hermed overhovedet have udtomt de forskjellige Arter af 

 Kurver med en dobbelt retliniet Gren , som man kan træffe paa i Systemer af Kurver af 

 fjerde Orden uden særegne Punkter. Den i 42 udførte Undersøgelse af Ligning (II) ophører 

 nemlig kun da at være brugelig, naar enten Betingelserne (VI) elier (XVII) ere opfyldte. 

 De Tilfælde, som Betingelserne (XVII) fore til, have vi nu udiømt i 44 og her i 45. 

 (VI) førte, som vi have set, foruden til de mere specielle Kurver af første Art, til de nye 

 Fremstillinger (IX) og derefter (XIII) af Kurverne af anden Art; men derved forudsatte vi 

 rigtignok stadig, at S,,-!^ — a„_2 o„ = O kun blev identisk derved, al è„_i = o'„_2 . J i , 

 c„ = a„-2 • f> i^ • Naar vi nu for Ligning (IX)'s og den mere almindelige Ligning (XIII)'s 

 Vedkommende ogsaa forudsætte, at det finder Sted paa den anden Maade, som er mulig, 

 naar ?i=r4, nemlig ved 02== «iS ^a =a^h.^, c^=i„J som i (XVII), er det at vente, at 

 vi, da (IX) og (XIII) væsentlig ere af samme Form som (II), kun komme til saadanne nye 

 Fremstillinger af Kurverne af tredie og fjerde Art, som blot medføre Foran- 

 dringer i Ordenerne af uendelig smaa Afstande fra Grænsekurven. Dette vil ogsaa vise sig 

 at være Tilfældet, naar man gjennemfører Undersøgelsen, idet man dog, førend man naar 

 til nye Fremstillinger af de almindeligste Former af disse Kurver, støder paa mere specielle 

 Tilfælde. 



Det Middel, hvorved jeg fra først af har sikret mig at faa alle de sædvanlige Kurver 

 med dobbelte retliniede Grene og overhovedet Kurver med Mangefoldsgrene i Systemer af 

 Kurver af tredie og fjerde Orden med, er forøvrigt disse særegne Kurvers Anvendelse til 

 Bestemmelse af Karakteristikerne i de elementære Systemer, ja det er gjennem denne An- 

 vendelse, at jeg først har erfaret Existensen af Kurverne af tredie og fjerde Art. (Smlgn. 

 Bemærkningerne i Slutningen af 31 (')). 



46. Kurver af fjerde Orden med to dobbelte retliniede Grene. — Paa 

 en Kurve af fjerde Orden med en dobbelt retliniet Gren, er Restkurven et Keglesnit. Naar 



Se desuden Comptes rendus 23 Septbr. og 21 Oktbr. 1872. 



