77 361 



dette reduceres til en Dobbeltlinie, faas en Kurve af fjerde Orden, som er sammensat af 

 to Dobbeltlinier. Skal en saadan Kurve være en sædvanliy særegen Kurve i et System af 

 Kurver uden særegne Punkter, maa der paa de to Dobbelllinier ialt være 9 Toppunkter 

 foruden dem, der falde sammen i Liniernes Skjæringspunkt. Denne Betingelse vil vise sig 

 kun at være opfyldt (smlgu. 53) af de Kurver, som paa denne Maade dannes af Kurverne 

 med dobbelt rellinict Gren af anden Art (eller for saa vidt ogsaa af saadanne, der daimes af 

 Kurverne af første Art, som de Betingelser kunne være opfyldte, som ere nødvendige for, 

 at den nye Gren skal være af anden Art). Naar vi i Ligning (II) sætte ?i = 4 og ^2 = ^^1 

 idet Dobbeltlinien kan være Axen a; = 0, faas 



a-2 1/ + 2 ^3 y /• 4- (-h ^-" + lp I'' = 0. (XXII) 



I det herved fremstillede System giver Â; = en Kurve, sammensat af to Dobbelt- 

 linier, nemlig y = med 6 enkelte Toppunkter bestemte ved b^"^ — x^c^ =0, 

 og flj = med 3 enkelte Toppunkter bestemte ved B,^ = 0. Den første er en 

 dobbelt retliniet Gren af anden Art, hvorfra Grene af den ved lim. /c = O bestemte Kurve 

 have Afstande proportionale med k, medens x = er en dobbelt retliniet Gren af første 

 Art], hvorfra Nabokurvens Grene have Afstande proportionale med JcK 



Skjæringspunktet mellem Dobbelllinierne bliver et tredobbelt Toppunkt. Til dettes 

 Dannelse medvirker den ene af de derigjennem gaaende Grene ikke, nemlig en af dem, 

 som falde henad y = 0, hvilken paa Nabokurven ogsaa i Nærheden af Begyndelsespunktet 

 har en Afstand fra ?/ = 0, som er proportional med Jc. Derimod ville to andre Grene 

 danne et saadant tredobbelt Toppunkt som dem, der ere beskrevne i 41. Dette ses der- 

 ved, at de Punkter af Nabokurven, for hvilke lim. — = o, tilfredsstille Ligningen 



x"^ y + 2 23,1- lo, 

 som giver en Kurve af første Art med .r = O til Dobbeltlinie og ^ = O til enkelt Gren. 



Af Vendetangenterne falde 8 sammen i Linien x = 0. Disses Røringspunkter be- 

 stemmes ved samme Ordinater y , som om Kurven havde været Trediegradskurven 

 •T^ y 4- 2 -Bg' = O, hvor B^' betegner den Funktion af y, som dannes ved i ^3 at sætte 

 æ = 0. — De øvrige 16 Vendetangenter maa falde sammen i Linien y = 0. 



Vi ville kalde Antallet af saadanne særegne Kurver i et System x ("). 



Paa Fig. 28 fremstiller 2 en Overgangsliurve af den her beskrevne Art. 1 og 3 ere tegnede saa- 

 ledes, at de med Hensjn til Dobbelttangenter og Vendetangenter netop bestaa af de samme Stykker som paa 

 Flg. 24. 



Cayley har i Compte rendu for Ilte Marts 1872 givet en analytisk Fremstilling af disse Kurver — 

 som overhovedet af de Kurver af fjerde Orden med dobbelt retliniet Gren, som vi have kaldt Kurver 

 af ferste og anden Art — og tildels angivet deres Form. 



