362 78 



Ved 1 Stedet for Ligning (II) at gaa ud fra andre Fremstillinger af Kurverne af 

 anden Art [(IX) elier (XIII)] vilde man faa andre Fremstillinger af de her beskrevne af to 

 Dobbeltlinier sammensatte Kurver. Saaledes giver Ligning (IX) vel i Almindelighed, naar 

 Restkurven bliver til x^ =0, 



ix'' +kA„')y''' + 2Bs'y'k'' + C,'k' = O, 

 hvor Linien a- = O kun indeholder to fra Begyndelsespunktet forskjellige Toppunkter be- 

 stemte ved ^2 =0; men denne Ligning bliver, naar A2' er delelig med x, til 



(a;2 _f- 2kA^'x)y"^ + 2B./i/k^ + CJk* = O, 

 hvor Toppunkterne paa .t = O bestemmes ved 



A,^y-2B, = 0. 

 Toppunkterne paa y = O bestemmes paa sædvanlig Maade ved ^3^ — x" c^ = 0. 



47. Kurver af ii'le Orden med en r-dobbelt retliniet Gren. — Af 

 Kurver med en r-dobbelt retliniet Gren, der fremstilles ganske som Kurver med en dobbelt 

 retliniet Gren, skulle vi kun betragte dem, der for r = 2 blive af anden Art, hvilke — 

 som man let finder — for r > 2 ere de eneste, som ere sædvanlige særegne Kurver i Sy- 

 stemer af tredie og fjerde Orden. Saadanne Kurver faas for k = i Systemet 



A„^r y + A„.r-tiy'-^ ./.•+.... + A„-i y . /.:'-i + An .k' + x}). U+^ = 0. (XXIII) 

 Første Led i Rækkeudviklingerne for de r Værdier af 3/, som svare til en vilkaarlig Værdi 

 af œ, og som forsvinde for k = O, bestemmes ved Ligningen 



On-r y" -I- ««-r + l V'"'^ ^ + + f'n-l i/ k"-^ -f «„ k' = 0. 



Denne Lignings Diskriminant, som er af Graden (»•— I) (2«— »•), bestemmer [r — l)(2?i — r) 

 enkelte Toppunkter. De /<— r Skjæringspunkter med Restkurven maa være dobbelte 

 Toppunkter dannede af to Grene, medens r — 1 Grene gaa derigjennem uden at danne 

 Toppunkter (smlgn 42). Tangenterne fra et Punkt til Grænsekurven Æ = O dannes af Tan- 

 genter til Restkurven An-r og Linier til Toppunkterne i Antal 



{n — r) {n — r—\) -f (?— l)(2w — »■) -\- 2 . (n — r] =- n [n—X). 

 At Antallet af Betingelser, som man kan underkaste Restkurven og Mangefolds- 

 linien, lagt til Antallet af enkelte Toppunkter, for n>?,, r>2 overskrider Antallet af 

 Betingelser, som bestemme et System, idet 



'«-^>'"-"- + ^»-F2 + (.-l)(2.-.)='^^^'-l+(.-2)~''-'^' 



2 -r-^^' 'l^-" " 2 • . - -' 2 ' 



beror paa, at man, naar h>3, ikke vilkaarligt kan vælge de n{n — 1) Tan- 

 genter, som skulle udgaa fra et givet Punkt og røre en given Kurve(') og 

 derfor heller ikke vilkaarligt vælge alle de enkelte Toppunkter. Da man for /* = 3 kan 



') Dette liar jeg vist i Tidsskrift for Mathematik 1872 S. 67. 



