79 363 



vælge alle 6 Tangenter vilkaarligt og for ?; = 4 de 11 , og da 7i = 4, r = 3 eller 4 netop 



2)1 y 3 



giver (r— 2) ^ = !> ^'ser det sig, at i alt Fald for de her angivne Tal Ligning 



(XXIII) vil give sædvanlige særegne Kurver. Vi kalde Antallet af Kurver med en tredobbelt 

 retliniel Gren i Systemer af tredie og fjerde Orden k, og Antallet af firdobbelte rette Linier 

 i et System af fjerde Orden v. 



De i 40 omtalte »'dobbelte rette Linier ere saadanne, som for H=r fremstilles 

 ved Ligning (XXIII). 



Kaar man erindrer, at en Kurve af tredie Orden enten bestaar af en uendelig Gren med tre reelle 

 Vendetangenter og en Oval (der selvfulgelig kan skjære den uendelig fjerne rette Linie), eller kun af den 

 første af disse Bestanddele, faar man \6 forskjellige Former for Kurver af tredie Orden, der nærme sig til 

 en tredobbelt ret Linie med 6 reelle Toppunkter. Hvis Ovalen nemlig er reel, kan den ligge paa hver af de 

 6 Strækninger, hvori Toppunkterne dele Linien; naar Ovalen er imaginær, kunne de Strækninger, hvor tre 

 reelle Grene nærme sig til at falde sammen, fordeles paa 2 forskjellige Maader; endelig vil man eflerat have 

 dannet en Kurve af hver af disse Arier faa en ny ved at dreje Figuren om i den symmetriske Beliggenhed 

 mod den tredobbelte rette Linie, hvortil Kurverne nærme sig. Disse 8 sidste Former ville, da Afstandene fra 

 den tredobbelte Linie for lim. k = blive proportionale med k, kun være dem, som de 8 første Kurver an- 

 tage, naar k skifter Fortegn. Der faas saaledes 8 øjensynligt forskjellige Former for Gjennem- 

 gangen gjenuem en tredobbelt ret Linie (se Slutning af 49). 



48. Dobbelte Keglesnit. — I Kurver af tilstrækkelig hnj Orden kan man ogsaa 

 træffe paa krumme Mangefoldsgrene, hvis Undersogelse ikke vil være væsentligt lorskjellig 

 fra Undersøgelsen af de retliniede Grene. Vi skulle her kun omtale dem, som man trælfer 

 i Systemer af Kurver af fjerde Orden, nemlig dobbelte Keglesnit. 



Ligningen 



A^^ + B^ k + ip,k- =0 (XXIV) 



vil fremstille et System, hvori k = giver en Kurve, hvis Punkter danne Kegle- 

 snittet A.^^0 to Gange. Den ved lim. /i; = bestemte Kurves Afstand fra 

 dette Keglesnit er af Ordenen -y. Selve Grænsekurven faar de 8 Punkter, 



som bestemmes ved 



A.,=0, ß, =0 



til Toppunkter. — 1 Tangenterne til Ao — O i hvert af disse Punkter falde tre Vende- 

 tangenter sammen (se 44 og 51). Dobbelttangenlerne ere Toppunkternes 28 Forbindelses- 

 linier. 



Idet Toppunkterne, som Skjæringspunkler mellem en Kurve af fjerde Orden og et 

 Keglesnit, alle kunne vælges vilkaarligt paa dette sidste, kan den fremstillede Grænsekurve 

 tilfredsstille o -|- 8 elementære Betingelser og hører saaledes med til de sædvanlige særegne 

 Kurver i et System uden Dobbellpunkter og Spidser. Antallet af disse Kurver kalde vi ,?. 



Naar B^ = 2 ßj -^2 > f^a^r man blot nye Fremstillinger af de samme Kurver, Af- 

 standene fra Grænsekurven blive da proportionale med k. 



