368 84 



I de øvrige ovenfor anførte Ligninger ere Koefflcienterne fundne dels ved direkte 

 Undersøgelser dels ved de Prøver, som opnaas derved, at sex af Ligningerne kunne ud- 

 ledes af de andre — nemlig tre paa Grund af de i 32 omtalte Afhængigheder og tre paa 

 Grund af, at Udtrykkene for m', ('id') og {2d'e') skulle forsvinde identisk (smign Formlerne 

 i 34). Skjøndt vi ved den Maade , hvorpaa Koefficienterne ere skrevne, have søgt at ud- 

 trykke deres Betydning og de Forhold, som de udtrykke, skulle vi ogsaa i Ord fremsætte 

 nogle af disse Forhold, der altsaa ere beviste gjennem en Forening af de anførte to Veje: 



Naar et Punkt P er beliggende paa en Gren af en Kurve i Systemet, som, idet 

 lim. /c = O, falder sammen med den dobbelte Gren af en Kurve tj, Ç eller d — der antages 

 fremstillede paa den simpleste Maade — ville, de to Tangenter, hvis Røringspunkter med 

 den anden Gren nærme sig til F, danne Vinkler med Tangenten i P, som ere proportio- 

 nale henholdsvis med k'*, k^, fcj ; de Vendetangenter, hvis Røringspunkter falde sammen i 

 et af disse Kurvers enkelte Toppunkter, danne Vinkler med hinanden proportionale med 

 yfcs, ki, ki; den Tangent fra et Punkt af en af disse Vendetangenter, hvis Røringspunkt 

 falder sammen med Vendetangentens, danner en Vinkel med Vendetangenten proportional 

 med k^, ki, k'. — De tre Vendetangenter til en Kurve, som nærmer sig til en Kurve ij, 

 hvis Røringspunkter falde sammen i dennes tredobbelte Toppunkt, ville indbyrdes danne 

 Vinkler proportionale medAià, og enhver af dem vil med de to Tangenter fra et af dens 

 Punkter, hvis Roringspunkler ogsaa have det tredobbelte Toppunkt til Grænsestilling, danne 

 Vinkler proportionale med ki. 



De fundne Ligninger kunne tjene til Bestemmelse af p', g', x', y\ s', v', (d' 2 e'). 



52. Ny Art Kurver med en dobbelt retliniet Gren i Systemerne n = 4, 

 rf=l, e = 0. — De Kurver med Mangefoldsgrene, som man træffer i et System af Kurver 

 af fjerde Orden med ét üobbeltpunkt, ere dels specielle Tilfælde af dem, man træffer i et 

 System uden særegne Punkter, dels nogle mere modificerede Former, som skulle beskrives 

 her i 52 og 53. 



De to dobbelte Toppunkter paa anden Art Kurver af fjerde Orden med en dobbelt 

 retliniet Gren (se 42 med Fig. 24 og 25) kunne falde sammen og danne et Dobbeltpuukt 

 og et dobbelt Toppunkt. Man faar da en Kurve sammensat af et Keglesnit og en 

 Dobbeltlinie, der rorer delte, og so m for uden et Dobbeltpunkt har et dobbelt 

 Toppunkt i Røringspunktet, samt 6 enkelte Toppunkter. 



En saadan Kurve vil ikke kunne fremstilles ved Ligning (II). Dette viser sig der- 

 ved, at naar de dobbelte Toppunkter paa de ved denne Ligning fremstillede Kurver skulle 

 falde sammen og danne et Dobbeltpunkt, ville af sig selv nogle af de enkelte Toppunkter 

 falde i samme Punkt. Vi kunne da prøve at anvende Ligning (IX) i 43, som], idet A'„-2, 

 B'„-i, C'„ indeholde k, for n = 4 kan omskrives til Formen 



