85 369 



Ä.y'-' + B'^y'-'k 4- 6;2/'^•- + D\ y'k^ + E\k^ ^ipk'- = Q, 



hvor A', B' , C, D' og E' betegne Funktioner alene af x og y' (=■ y + b-^k). Man kan 

 nu foreløbig søge de Betingelser, som disse Funktioner maa tilfredsstille, naar Systemets 

 Kurver skulle have et (fra de enkelte Toppunkter adskilt) Dobbeltpunkt, der ligger fast i 

 Begyndelsespunktet. Man finder da først, at a^ maa være delelig med x'^ , og dernæst en 

 Hække andre Betingelser, som ikke medføre, al x bliver Faktor i Cg og derved x = 

 Rod i Ligningen 03^ — a^e^ = O, der bestemmer de enkelte Toppunkter. Denne Frem- 

 stillingsform kan altsaa endog anvendes, naar Dobbeltpunktel ligger fast, og da end mere, 

 naar Systemet ikke er underkastet denne yderligere Betingelse. Derimod maa man ty til en 

 mere sammensat Fremstillingsform, (indbefattet i (XIII)), naar Systemets Kurver skulle røre 

 en Kurve, der gaar gjennem del dobbelte Toppunkt paa den fremstillede Grænsekurve, idet 

 for den anførte simpleste Fremstillingsform de Grene, der danne dette, faa Afstande, som 

 for lim. Z; = O ere proportionale med Æ?. Tangenterne i Dobbeltpunktet danne ligeledes 

 Vinkler proportionale med Z;J, medens Afstanden mellem de Grene, der falde sammen i 

 Dobbeltlinien , bliver proportional med k-. 



Antallet af disse Grænsekurver beregnet i Overensstemmelse med 49 ville vi be- 

 tegne med tf). 



Paa Fig. 29 er 2 en Overgangskurve ip mellem 1 og 3. For Tydeligheds Skyld have vi ladet Dob- 

 beltpuuktet, der har imaginære Grene paa I, reelle paa 3, ligge fast. Det dobbelte Toppunkt er reelt paa 1, 

 imaginært paa 3. 



Vi kunne ved samme Lejlighed vise en yderligere Modifikation af de her fremstillede særegne Kurver, 

 som foruden Kurver med tredobbelt og firdobbelt relliniet Gren og Kurver a vil være den eneste Art Kurver 

 med Mangefoldsgrene, som man sædvanligvis finder i Systemerne w = 4, d = 0, e=l. Det ses nemlig, 

 at Dobbeltpunktel (med reelle Grene) paa Kurven 3 gaar over til en Spids, naar Slaifen svinder ind til et 

 Punkt, i hvilket Tilfælde Keglesnittet paa Kurven 2 maa være sammensat af to imaginære rette Linier. Er 

 derimod Keglesnittet i 2 sammensat af to reelle rette Linier, smelter det isolerede Punkt paa 1 sammen med 

 et nyt Toppunkt og danner en Spids. Vi træffe saaledes i Systemer af fjerde Orden med en Spids 

 saadannc Kurver, som ere sammensatte af to enkelte rette Linier og en Dobbeltlinie 

 gjennem deres Skjæringspunkt, og som foruden en Spids have et tredobbelt Toppunkt i 

 dette Skjæringspunkt, samt 6 enkelte Toppunkter. Disse særegne Kurver maa fremstilles ved en 

 Ligning indbefattet i (XIII) for r=.2, saa de Grene, der nærme sig til Dobbeltlinien faa en indbyrdes Af- 

 stand, som for lim. k^O bliver proportional med k^ . Tangenter fra et vilkaarligt Punkt, der uærme sig til 

 at gaa gjennem det tredobbelte Toppunkt, danne Vinkler proportionale med h. 



Paa Fig. 30 ere Kurverne 1 og 3 Modifikationer af 3 paa Fig. 2'J. Paa Fig. 31 ere de Modifikationer 

 af 1 paa Fig. 29 ('). 



(') Ovalerne paa Kurverne i Fig. 29 burde være beliggende ovenfor de to reelle Veiidetangeuter til de 

 flade Grene, der udgaa fra den midterste Del af Kurven. Den samme Fejl have Fig. 30 og 31 ; men 

 den er uvæsentlig med Hensyn til de Forhold, som her skulle oplyses. 



