III 



Premiere partie. 



Description des courbes singulières ordinaires sans branches multiples. 



l.(') Systèmes de courbes. — Relations de Pli'icker et déSnition d'un système. 



2. Représentation analytique d'un système de courbes. — On peut 

 représenter un système par une équation du degré n en coordonnées-point (ou par une 

 équation du degré n' en coordonnées tangentielles) dont les coefficients sont des fonctions 

 algébriques (racines d'équations algébriques) d'un paramètre Tt. Celui-ci peut toujours être 

 choisi de manière qu'à une courbe du système, qui n'en fait pas partie plusieurs fois, ne 

 corresponde qn'une seule valeur de Æ; mais à chaque valeur de li correspondront en générai 

 plusieurs courbes. 



Il sera commode, pour la discussion des courbes voisines d'une courbe donnée 

 du système, de choisir Te de manière que cette courbe corresponde à 4 = 0, et de déve- 

 lopper le premier membre de l'équation en série suivant les puissances croissantes de h. 

 On peut toujours obtenir par le choix de li que tous les exposants soient entiers. L'équation 

 devient 



y = Ç,0 4. y(l) Ti _^ (p(2) ^.24... ^(r-l) ^r-l -|. 0^r = Q, (I) 



où y.'"> ... y.f*""^' sont des fonctions des coordonnées, xp une fonction des coordonnées et 

 de h qui ne devient pas inunie pour Æ = 0. 



Ayant assujetti k aux différentes conditions que nous avons indiquées, nous pour- 

 rons, pour la lim. 4 = 0, mesurer par rapport à 4 les ordres des infiniment petits, en 

 appelant infiniment petit de l'ordre a une quantité qui devient proportionnelle à k". On 

 voit alors que la distance de la courbe g.<"' à la courbe voisine y, déterminée par la lim. 

 Z; = 0, est en général un infiniment petit du premier ordre, et, seulement dans les 

 points de contact avec l'enveloppe du système, un infiniment petit du deuxième ordre. 



3. Caractéristiques. — Voir la table des notations. La première caractéri- 

 stique du système ;/, sera le degré en k de l'équation qu'on obtient en rendant l'équation 

 du système en coordonnées-point rationnelle par rapport à k. Si c'est l'équation tangen- 

 tielle qu'on rend rationnelle, le degré en k sera la seconde caractéristique ;*'. 



4. Courbes singulières ordinaires; division en deux espèces prin- 

 cipales. — Les courbes singulières d'un système sont celles qui ont d'autres points ou 

 tangentes singuliers qu'une courbe quelconque du système. Nous appelons ordinaires les 

 courbes singulières qu'on trouve dans les systèmes élémentaires, c'est-à-dire dans les sy- 

 stèmes dont les conditions données ne sont que des points et des tangentes donnés. Ces 



(') Les n°s sont les mêmes que ceux du texte danois. 



