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singularités seront aussi les seules d'un système de courbes tangentes à des courbes don- 

 nées indépendantes entre elles. 



A côté d'une première espèce de courbes singulières qui ont seulement un nou- 

 veau point singulier ou une nouvelle tangente singulière, les systèmes élémentaires 

 peuvent aussi contenir des courbes douées de branches multiples. Nous nous occuperons 

 de celles-ci dans la troisième partie du mémoire; dans les deux premières parties, 

 nous n'attribuerons pas aux systèmes d'autres courbes à branches mul- 

 tiples que les courbes a et «' (voir la table des notations et 10 — 14), qui ont seule- 

 ment des branches multiples lorsqu'on les regarde respectivement comme des enveloppes 

 de droites ou des lieux de points, mais non pas dans les cas inverses. 



5. Branches droites et sommets. — En appliquant le principe de dualité 

 à une courbe composée dont une branche est une droite, on trouve une courbe composée 

 à laquelle toutes les droites menées par un point sont tangentes. Ce point s'appelle un 

 sommet. Une courbe d'un système, si on la regarde comme lieu de points, peut être 

 composée de branches courbes et de droites, tandis que, considérée comme enveloppe, elle 

 est composée des mêmes branches courbes et de sommets. La partie courbe qu'on a 

 dans les deux cas s'appelle la courbe residue. Les formules de Pliicker ne sont alors 

 applicables qu'à la courbe residue. 



6. Lemmes sur des courbes douées de branches droites et de som- 

 mets. — Si l'on suppose que le système ne contient qu'un nombre fini de courbes douées 

 de branches droites ou de sommets — sans quoi on ne pourrait appliquer les formules de 

 Pliicker aux courbes complètes du système — on aura le lemme suivant: «Un système ne 

 contient pas des courbes où n — 1 des d points doubles sont des points d'intersection d'une 

 branche droite simple et d'une courbe residue», ainsi que le lemme qui y correspond 

 suivant le principe de dualité. 



7. Enumeration des courbes singulières ordinai,'res. — Voir la table 

 des notations. Nous supposons que les courbes à | f-'j'^";' '^ ( dans le texte danois n'ont pas 



d'autres I P"'"'^ \ singuliers nouveaux ou transformés, ni d'autres jl^ranches droites» ^^ 



(lani^entes) ( sommets ) 



ceux qui leur sont attribués dans les définitions. 



8. Nombres Plückeriens des courbes residues «, ß, y, a', ß', y'. — Les 

 définitions des courbes donnent immédiatement, pour les courbes residues a, /S, ;', les 

 nombres n, d et e, et pour les courbes residues o', ^', ;'', les nombres »»', d' et e'. Les 

 équations de Pliicker sersiront donc à déterminer les autres nombres Plückeriens (voir la 

 table dans le texte danois). 



On s'assure que les courbes dont il s'agit sont des courbes singulières ordinaires — 

 si seulement les nombres d' et e' ou (^ et e ne sont pas trop petits — en comptant les 

 conditions auxquelles on peut assujettir les courbes «, ß el y, regardées comme lieux de 

 points, et les courbes a', /S', y' regardées comme enveloppes. La table indique quelles 

 seront les valeurs minimum des nombres d\ e', d, e qui permettent au système de contenir 

 une des courbes singulières; car aucun des nombres de la table ne peut être négatif et 



