les courbes residues Yq ont au moins deux tangentes doubles (qui coïncident), et les 

 courbes residues y^', deux points doubles. 



9. Les courbes a regardées comme enveloppes, et les courbes a' 

 regardées comme lieux de points. — La table du n» 8 montre qu'une courbe com- 

 plète a regardée comme enveloppe, est composée de la courbe residue et d'un sommet 

 double, qui se trouve au nouveau point double. Avec chacune des droites menées du 

 nouveau point double et tangentes à la courbe residue en un autre point, coïncident deux 

 tangentes doubles de la courbe complète, et avec cliaque tangente à une branche courbe 

 du point double, trois tangentes d'inflexion. 



Le principe de dualité donne les propriétés correspondantes des courbes com- 

 plètes u'. 



10. Etude des courbes «g. — Pour l'élude des courbes voisines d'une courbe 

 »0 il Pst commode d'écrire l'équation du système de la manière suivante (') (voir le n° 2) 



a'î' + ys +^4 +.. -F-?;«^ = 0, (II) 



où (fr est une fonction homogène du degré r de x et y. Nous commençons par attribuer 

 à ip, qui contient aussi k, un terme a indépendant de x, y et k. 



Un trouve alors, en désignant par le nouveau point double de «(,, que la di- 

 stance de aux points et aux tangentes des deux branches d'une courbe voisine de a^ qui 

 s'en approchent, devient, en général, proportionnelle à k^\ la distance de aux deux tan- 

 gentes doubles qui tendent à coïncider avec une tangente menée de à la courbe residue, 

 devient aussi proportionnelle à k^. On voit ainsi que les points de contact de ces tan- 

 gentes doubles avec l'enveloppe (l') se trouveront à leurs points de contact avec la courbe 

 residue. La courbe (p') sera tangente à la courbe residue aux mêmes points. 



Les distances de cessent d'être proportionnelles à k^ pour les points des deux 



branches déterminés par les lim. — = ou — = 0, et pour les tangentes en ces points. 



X y 



On trouve que le point de contact d'une des trois tangentes d'inflexion qui ont pour posi- 

 tion limite un des axes, «/ ^ 0, est à une distance de cet axe prop, kk^ et à une distance 

 de a; = prop, 'à k^ , et que la tangente d'inflexion fait avec sa position limite un angle 

 prop, à k^ (voir les formules (V) du texte danois). Les courbes (c') et {q") passent deux 

 fois par le point et sont tangentes à «g. 



Dans la ligure 1 les courbes 1 et 3 sont des courbes voisines, antérieure et postérieure, de la 

 courbe 2 qui est une courbe «„. Le dessin, ainsi que la détermination aniil\tique que nous venons de 

 donner, montre qu'une seule des trois tangentes d'inflexion qui ont pour position limite une des deux tan- 

 gentes au point singulier de «„ est réelle. 



11. Suite de l'étude des courbes a,,. — Nous supposerons ici que \p ne 

 contient plus aucun terme indépendant de x, y et k. Alors les distances du point aux 

 deux branches qui s'en approchent deviennent proportionnelles à k. L'enveloppe des cour- 

 bes du système passera par le point — ce qui n'avait pas lieu dans le cas discuté au 



a; et 2/ sont imaginaires si le nouveau point double est un point isolé. 



