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n»]0 — et y aura même un point double, dont les tangentes sont déterminées par l'équa- 

 tion (VII). Le point sera deux fois point cuspidal de la courbe [q') et deux fois point 

 d'inflexion de la courbe (c'), les tangentes étant dans les deux cas les droites a; = 0, 

 y = 0. — Une tangente menée de à la courbe residue devient ici tangente double de la 

 courbe (&'). 



Les figures 2 — 5 montrent les différents cas qui se présentent. 



Quoique la transition se fasse ici d'une autre manière que dans le n° 10, on n'a 

 pas besoin d'une nouvelle notation pour désigner le nombre des courbes singulières qu'on 

 rencontre ici. Il faut seulement, dans les formides que nous exposerons dans la deuxième 

 partie de ce mémoire, compter chacune de ces courbes pour deux dans le 

 nombre a^. 



12. Courbes «q dans les systèmes élémentaires. — Si les conditions 

 d'un système sont des contacts avec des courbes données ('), indépendantes entre elles, 

 une courbe ayaut un nouveau point double qui ne se trouve sur aucune des courbes don- 

 nées, pourra être représentée de la manière Indiquée au n° 10 et comptera pour un dans le 

 nombre oq. Mais une courbe qui, au lieu d'un contact avec une ou deux des courbes 

 données, a un nouveau point double sur la courbe donnée ou en un point d'intersection des 

 deux courbes, doit être représentée de la manière indiquée en 11, parce que l'enveloppe du 

 système passe par le nouveau point double. Dans le dernier cas, où toutes les deux 

 branches de l'enveloppe du système qui passent par le point sont connues, on trouve que 

 la courbe singulière fait deux fois partie du système. Suivant la règle indiquée à la fin 

 du n° 11, on doit donc compter les deux espèces de courbes dont il s'agit ici respective- 

 ment pour deux et pour quatre, dans le nombre »o- 



Les systèmes élémentaires sont des cas particuliers des systèmes dont nous avons 

 parlé ici. 



13. Courbes «i et «j. — La plupart des résultats trouvés pour les courbes «g 

 s'appliquent aussi aux courbes «i et «,. Seulement les branches droites de ces courbes 

 ne sont pas des positions limites de tangentes d'inflexion. — La branche droite d'une courbe 

 «1, ou une des branches droites d'une courbe «„, rencontre la courbe consécutive dans 

 les n~2 de ses points d'intersection avec la courbe residue qui ne sont que des posi- 

 tions particulières de points doubles du système, et en deux autres points, qui sont des 

 points de contact avec l'enveloppe du système. Dans le cas où l'enveloppe passe par le 

 nouveau point double (ce qu'elle fera alors deux fois, voir 11), un des points d'intersection 

 de la courbe singulière avec la courbe consécutive coïncide avec 0. Alors deux cas peu- 

 vent se présenter: la branche droite n'a qu'un seul contact avec l'enveloppe, ou elle est 

 une branche de l'enveloppe. On rencontre ces deux cas dans les systèmes élémentaires. 



Dans la figure 6 la courbe 2 est une courbe «,. 



14. Courbes a'. — En appliquant le principe de dualité aux résultats trouvés 

 dans les n's 10—13, on trouve les propriétés des courbes a'. 



(') En parlant des conditions du système, nous n'y comprenons pas les nombres Plückeriens que nous 

 supposons qu'on a attribués à ses courbes avant d'introduire d'autres condiUons. 



