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Dans la flgure 7 la courbe 2 est une courbe «,'. La figure montre clairement que le sommet Oj 

 est un point double de l'enveloppe du système. 



15. Courbes jS et ß'. — Regardée comme enveloppe de tangentes, une courbe 

 ß est composée de la courbe residue et d'un sommet simple, qui se trouve au nouveau 

 point cuspidal (voir la table du n° 8). — Les n' — 4 droites, passant par ce point, qui sont 

 tangentes en d'autres points à la courbe residue, sont des tangentes doubles de la courbe 

 complète ß, et deux des tangentes d'inflexion de celle-ci coïncident avec la tangente au 

 point cuspidal. 



Pour représenter les courbes voisines d'une courbe ß, il est commode de se servir 

 de coordonnées mobiles, dont l'origine est le point double qui tend à être cuspidal, et 

 dont les axes restent parallèles à des directions fixes, y = à celle de la tangente au 

 nouveau point cuspidal de la courbe ß. L'équation devient alors 



y"- -\-(Pä+(pi+--- + Ti[ip2+VJz+--) = ^- (IX) 



Si l'on veut substituer à ce système de coordonnées mobiles un système fixe, on 

 doit remplacer a; et ^ par x-\-a^k-{-a^]c'^-\-... &\. y -\- b ^ h -{- b„ k"^ -\- . . . , où les coef- 

 ficients constants a et è sont en général finis (comp, n" 2), 



On trouve que la distance du point singulier de la courbe ß à une courbe voi- 

 sine devient pour la lira. Æ ^ proporlionnelle à k, et qu'une seule branche de l'enve- 

 loppe du système passe par ce point. Les tangentes au point double de cette courbe 

 voisine qui tend à devenir cuspidal, ainsi que les tangentes d'inilexion qui tendent à coïn- 

 cider, font entre elles et avec leurs positions limites des angles prop, à là. La droite y = 

 sera donc une tangente simple des courbes [p] et (c') au point 0. Les deux points d'in- 

 flexion seront à des dislances de prop, à k, mais la dislance de l'un à l'autre sera 

 prop, à k^. Le point sera donc un point cuspidal de la courbe (q']. 



Le principe de dualité donne les propriétés des courbes voisines d'une courbe ß'. 



Les figures 8 et 9 montrent le passage par une courbe ß ou ß\ 



16. Courbes /q ^' Yo'- — Regardée comme enveloppe de tangnntes, une courbe 

 yo est composée de la courbe residue et d'un sommet qui se trouve au nouveau point 

 singulier. Les n' — 5 tangentes menées de ce point à la courbe residue sont des tangentes 

 doubles de la courbe complète; mais la courbe residue, en même temps qu'elle a perdu 

 ces tangentes doubles, en a obtenu deux nouvelles qui coïncident avec la tangente au 

 point de contact de deux branches. Avec la même tangente coïncident quatre tangentes 

 d'inflexion de la courbe complète (voir le n» 8). 



Nous faisons usage d'un système de coordonnées mobiles, en prenant pour ori- 

 gine le point cuspidal qui tend à être point de contact de deux branches, et pour axe 

 y = la tangente en ce point cuspidal; l'autre axe reste parallèle à une direction fixe. La 

 distance du point singulier de la courbe y^ à une courbe voisine devient en général 

 prop, à k, et l'enveloppe du système passe par 0. Aussi les quatre tangentes d'inflexion 

 qui ont la tangente en pour position limite, font-elles des angles prop, à k avec cette droite 

 fixe et l'un avec l'autre, et de même les distances de leurs points de contact (entre eux et 

 de 0) sont prop, à k. La tangente de la courbe y^^ en son point singulier est donc une 

 tangente quadruple de la courbe {&) , et le point est un point quadruple de la courbe (q'). 



