VIII 



Le principe de dualité donne les propriétés des courbes voisines d'une courbe y^'. 



Les figures 10, 11 et 12 montrent les trois liifTércnts modes de passage par une courbe y,,. Dans 



tous les trois cas deux des quatre tangentes d'inflexion qui tendent à coïncider sont réelles, deux imaginaires. 



A ces figures correspondent respectivement les figures 13, 14, 15 qui montrent le passage par une courbe y^'. 



J7. Courbes yj. — Le nouveau point singulier d'une courbe y est en même 

 temps un des e points cuspidaux et un sommet, et la tangente singulière d'une courbe y' 

 est en même temps une des e' tangentes d'inflexion et une branche droite. Or la table 

 du n" 8 montre qu'une seule tangente d'inflexion d'une courbe y^ coïncide avec sa branche 

 droite. On voit donc que les courbes y^ et y^' ne sont pas différentes entre elles. 



La représentation analytique d'une courbe y^ se fait de la même manière que celle 

 des courbes y^ ou yo'j 6t les ordres des difl'érenles distances ou angles infiniment petits 

 sont les mêmes. 



La fig. 16 montre le passage par une courbe y,. CeUe figure est elle-même une figure de transition 

 de 10 à 11 ou de 13 à 14. 



18. Courbes {id), (de) et (2e). — Une courbe {2d) a, au point où deux 

 points doubles coïncident, uu contact de deux branches. Selon le lemme du n" 6 aucune 

 de ces branches n'est droite. Par conséquent deux tangentes doubles coïncident avec la 

 tangente de contact. La courbe {2d) sera donc aussi une courbe {2d'), et réciproquement. 



Le nouveau point singulier d'une courbe (de) est un point de rebroussement de 

 seconde espèce dont la tangente est à la fois tangente double et tangente d'inflexion. 

 Aussi les courbes (de) et les courbes {d'e') sont les mêmes. , 



Si deux points cuspidaux coïncident sans que d'autres points singuliers s'y joig- 

 nent, il en résulte un contact triponctuel (osculation) de deux branches. Si une de ces 

 branches était droite on aurait une courbe jS'; mais dans le n» 7 nous avons expressément 

 exclu ce cas. Les formules de Pliicker permettent de substituer à deux points cuspidaux 

 trois points doubles si, en même temps, on substitue à deux tangentes d'inflexion trois 

 tangentes doubles. On verra ainsi que les courbes (2e) sont en même temps des courbes 

 (2 e'), et réciproquement. 



19. Représentation analytique des courbes (2c?). — Nous faisons usage 

 de coordonnées mobiles: l'axe y = est la droite joignant les deux points doubles qui 

 tendent à coïncider, l'axe a; = est une droite fixe passant par le nouveau point singulier 

 de la courbe (2d). Soit en faisant usage de ces coordonnées (voir le texte danois), soit en 

 observant que les distances des deux branches d'une courbe voisine de (2d) qui tendent à 

 se toucher, sont, pour la lim. k = 0, proportionnelles à k, on trouve que les deux 

 points doubles qui tendent à coïncider et les tangentes en ces points, ainsi que les deux 

 tangentes doubles qui tendent à coïncider et leurs points de contact, s'éloignent, en 

 général, de distances ou d'angles proportionnels à Je'i de leurs positions limites. On 

 voit donc qu'une branche des courbes (b) et (6') et deux branches des courbes (p) et (p') 

 sont tangentes à la courbe {2d) en son nouveau point singulier. — Les conditions du 

 système peuvent amener le cas moins général où ces distances et ces angles ne sont 

 que proportionnels à k. Alors la courbe singulière compte pour deux dans le nombre (2d) 

 [voir le n' 66 et comparer au n" 11]. 



