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La üg. 17 montre le passage par une courbe {id). 



20. Représentation analytique des courbes {de). — Si l'on commence 

 par faire usage des mêmes coordonnées que dans le n° 19, il sera commode de rem- 

 placer y+ — x'^ par la seule notation y, ou bien d'introduire un système mobile de coor- 

 données curvilignes. On peut, pour le définir, le rapporter à un système Qxe où x = 

 est une droite arbitraire passant par le nouveau poiut singulier de la courbe (de), et où 

 y ^ est une parabole dont les diamètres sont parallèles à ce = 0, et qui est osculatrice 

 k{de) au dit point singulier. Dans le système mobile, x = reste fixe; mais 3/ = est la 

 parabole représentée, dans le système fixe, par une équation linéaire, et passant par les deux 

 points singuliers qui tendent à coïncider. Soit dans le système fixe, soit dans le système 

 mobile, les coordonnées d'un point sont — à des facteurs constants près — sa distance 

 de la droite x = 0, et sa distance de la parabole «/ = mesurée sur un diamètre. 



On trouve au moyen de ces coordonnées que les distances des points singuliers 

 d'une courbe voisine d'une courbe (de) à leurs positions limites sont prop, à k. Les 

 tangentes au point double font aussi avec leur position limite des angles prop, à k, mais 

 l'une avec l'autre un angle prop, à k^, et la tangente au point cuspidal fait avec sa posi- 

 tion limite un angle prop, à k. Le principe de dualité donne les propriétés analogues des 

 tangentes singulières qui tendent à coïncider. — Le nouveau point singulier de la courbe 

 (de) est un point simple des courbes (b), (c) et (q'), et un point cuspidal de (p'); la nou- 

 velle tangente singulière de (de) est tangente simple de (b'), (c') et (q), et tangente d'in- 

 flexion de (p). 



La flg. 18 montre le passage par une courbe (de). 



21. Représentation analytique d'une courbe (2e). — On trouve, en faisant 

 usage des mêmes coordonnées mobiles et curvilignes que dans le n" 20, que, sur une 

 courbe voisine de (2e), les deux points cuspidaux et leurs tangentes, ainsi que les deux 

 tangentes d'inflexion et leurs points de contact, s'éloignent de quantités proportionnelles 

 à ÆJ de leurs positions limites. Les courbes (c), (c'), (q) et (q') sont tangentes à la courbe 

 (2e) en son point singulier. 



Les üg. 19 et 20 montrent deux formes de courbes (2 e) et le passage par ces courbes. 



22. Courbes (Zd), (Ide), (d2e), (^d'), (2d'e'), (d'2e'). — Une courbe (3J') est 

 une courbe du système dont une tangente double présente un troisième contact, et devient 

 ainsi une tangente triple. — Une courbe (2£^'e') est une courbe où l'un des contacts d'une 

 tangente double devient triponctuel. Une courbe {d'2e') est une courbe où les deux points 

 de contact d'une tangente double coïncident. On voit ainsi que ces courbes singulières 

 sont ordinaires; suivant le principe de dualité, les courbes (id), 2de), d2e) le seront aussi. 



On déduit sans difficulté des propriétés connues des points doubles et cuspidaux 

 celles des courbes voisines d'une courbe ('id) ou (2 de). Le nouveau point singulier d'une 

 courbe (3d) est un point triple de la courbe (b), et celui d'une courbe (2de) est un point 

 cuspidal de la courbe (b) et un point simple de la courbe (c). 



Pour les courbes (Zd') et (2d'e') nous renvoyons au principe de dualité. 



Vidensk Selsk. Skr. S Rxkke, nalurvidensh. ag malbem. Afd. 10 B IV. b 



