23. Représentation analytique des courbes ld2e} et (d'2e'). — Pour re- 

 présenter les courbes voisines d'une courbe (d'2e'\, nous avons fuit usage d'un système 

 de coordonnées mobiles: l'axe y = est la tangente double dont les points de contact 

 tendent à coïncider, et l'axe x = est une droite fixe menée par le point de la courbe 

 (d'2e') où cette coïacidence a lieu. — On trouve qu'en général la tangente double et les 

 deux tangentes d'inflexion qui tendent à coïncider, s'éloignent (pour la lim. k = 0\ de quan- 

 tités prop, à Æ de leur position limite, mais qu'elles font entre elles des angles prop, à 

 k^; que les points de contact de ces tangentes sont à des distances prop, à k^ de leur 

 position limite; que la tangente menée d'un point de la tangente double (ou de l'une des 

 tangentes d'inflexion) et qui tend à coïncider avec cette tangente singulière, fait avec elle 

 un anyle proportionnel à k^. 



Les courbes {p') et {q') sont tangentes à la courbe {d'2e') en son point de con- 

 tact avec la nouvelle tangente singulière, et cette tangente est en un autre de ses points à 

 la fois tangente simple de la courbe (b'], et tangente d'inflexion de la courbe (c'). (Voir la 

 fig. 21). 



On trouve au moyen du principe de dualité les propriélés des courbes voisines 

 d'une courbe {d2e) (voir la fig. 22). 



Deuxième partie. 



Relations entre les caractèristiqnes et les nombres des conrbes singulières ordinaires. 



24. Exposé des résultats principaux. — Dans les équations exposées dans 

 cette partie, nous n'avons pas égard à d'autres courbes pourvues de branches multiples 

 que les courbes a et a'. Elles sont donc immédiatement applicables aux nombreux sy- 

 stèmes où il n'y en a pas d'autres, et, en ajoutant des termes supplémentaires, on 

 peut aussi les appliquer à des systèmes qui renferment d'autres courbes 

 à branches multiples (et même à des systèmes où il y a des courbes singulières 

 extraordinaires). Pour peu qu'on connaisse les propriélés de ces courbes singulières et 

 de leurs courbes voisines, on peut trouver les termes supplémentaires d'une formule par 

 les mêmes procédés que la formule elle-même (voir 40 et troisième partie du mémoire). 



Les 24 équations énumérées dans le texte danois ne lont que 23 équations indé- 

 pendantes entre elles. Il est donc possible de trouver les 40 nombres ,t», /a' etc , lorsqu'on 

 en connaît 17 (ainsi que les nombres Pluckeriens, qui font partie de la détinition du sy- 

 stème). 



25. Principe de correspondance. — Les formules du n° 24 sont trouvées 

 au moyen du principe de correspondance: 



Lorsqu'on a une droite (i) et deux séries de points Zet Ftels, qu'à 

 un point X correspondent ^ points Y, et, à un point Y, | points X, et que 

 cette correspondance peut s'exprimer algébriquement, le nombre des 



