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points {X Y) où un point X coïncide avec un des points correspondants Y 

 est 1 + 7. — Les points d'une droite peuvent, dans cet énoncé, être remplacés par les 

 droites d'un faisceau. 



26. Solutions coïncidentes. — Il est connu que rappKcation du principe de 

 correspondance présente une seule difficulté: celle de déterminer le nombre de points 

 {XY) qui coïncident en un point où X coïncide avec un ou plusieurs des points corre- 

 spondants Y. Pour résoudre cette difficulté, je fais usage de la règle suivante: 



Si le point X et un des points correspondants F coïncident à la fois 

 avec un point fixe D, et si, en même temps que la distance DX devient in- 

 finiment petite, la distance XY devient proportionnelle à {DX}^, ce point 

 Y amène la coïncidence de ^ des 1 + «y points tXY) avec D. En faisant passer 

 le point mobile X par le point fixe D, et en considérant ainsi séparément tous les points 

 correspondants Y qui passent en D en même temps que X, on trouve tous les points 

 {XY} qui coïncident avec D. 



Ayant trouvé, dans la première partie de ce mémoire, les ordres des distances et 

 des angles infiniment petits qui séparent les points ef !es tangentes des courbes singu- 

 lières de ceux de leurs courbes voisines, nous pouvons faire usage de celte règle pour 

 déterminer directement les coefficients des formules obtenues par le principe de corre- 

 spondance. C'est de cette démonstration que j'ai fait usage dans mon mémoire; mais dans 

 ma première déduction des formules, j'ai déterminé indirectement beaucoup de ces 

 coefficients, en cherchant une même formule par différentes voies (voir 31), ou en me 

 servant de différentes formules pour trouver un même résultat numérique. La recherche 

 des caractéristiques des systèmes élémentaires permet beaucoup de ces dernières vérifica- 

 tions. Les coeiflcients trouvés par ces voies indirectes pourraient servir comme démon- 

 stration des propriétés des courbes dont on fait usage dans la déduction directe. 



27. Déduction des formules (3) et (3')- — On trouve la formule (3) en 

 prenant pour points X et Y deux des points où une même courbe du système rencontre 

 une droite fixe. — Le principe de dualité donne la formule (3'). 



28. Déduction des formules (4) — (8) et (4') — (8'). — On trouve la for- 

 mule (4) en prenant pour X la droite joignant un point fixe à un point double d'une courbe 

 du système, et pour Y une des tangentes de la même courbe qui passent par le même 

 point fixe. Les démonstrations de (5) — (8) sont analogues, et le principe de dualité donne 



(4') -(8'). 



29. Lemmes pour la déduction des équations (9) — (14) et (9') — (14'). — 

 Le lieu des points de contact des courbes du système avec les tangentes menées d'un 

 point fixe, est de l'ordre (i-\-fi'. 



Le lieu des n — 2 points d'intersection d'une courbe du système avec une tangente 

 menée d'un point fixe, est de l'ordre («' — 2) fi + (n—2) fi'. 



Le lieu des (w— 2) points où une droite joignant un point fixe à un point double 

 d'une courbe du système rencontre encore la courbe, est de l'ordre dfj,-{-(n — 2}b. 



b* 



