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Le lieu des n — 2 points où la droite joignant un point fixe à un point cuspidal 

 d'une courbe du système rencontre encore la courbe, est de l'ordre ejtt + (w — 2) c. 



On trouve ces ordres en comptant les points d'intersection des lieux avec une 

 droite menée par le point fixe. En appliquant le principe de dualité aux deux premiers 

 lemmes, on ne trouve que de nouveaux exposés des mêmes lemmes. 



30. Déduction des équations (9) — (14) et (9') — (14'). — Le premier 

 membre de l'équation (9) indique le nombre des tangentes menées d'un point fixe aux 

 courbes du système dont un point d'intersection coïncide avec le point de contact. On 

 trouve ce nombre au moyen du principe de correspondance en prenant pour X et Y les 

 droites joignant un autre point fixe au point de contact et à un des points d'intersection 

 d'une des tangentes. — La déduction de (10) — (14) est analogue à celle de (9). 



31. Déduction directe d'équations qui peuvent remplacer quelques 

 unes des équations du n''24. — On trouve l'équalion (15) en cherchant le nombre 

 des points doubles des courbes du système dont les deux tangentes rencontrent une droite 

 fixe en un même point. — Le nombre appelé s dans le texte danois est l'ordre du lieu 

 des points où les tangentes à une courbe du système, en ses points d'intersection avec 

 une droite fixe, rencontrent encore la même courbe. En déterminant s, et au moyen du 

 principe de correspondance, et en comptant les points, d'intersection du dit lieu avec la 

 droite fixe donnée, on trouve l'équation (16). 



32. Équations transformées. — Démonstration que les 24 équations du 

 n° 24 et les 4 équations du n" 31 ne font qu'un système de 23 équations indépendantes 

 entre elles. 



33. Courbes d'un système qui satisfont à une condition donnée. — 

 Le principe de correspondance sert à déterminer le nombre des courbes d'un système qui 

 satislont à une condition donnée. Si cette condition est indépendante de celles qui déter- 

 minent le système , on trouve ce nombre en fonction linéaire et homogène des nombres 

 /», fi', etc. ou, suivant les équations du n° 24, de 17 d'entre ces 40 nombres. Les nombres 

 trouvés peuvent indiquer les ordres ou les classes de courbes fixes qui ont des rapports 

 avec le système. 



Nous rappellerons ici les nombreux résultats trouvés par M. Chasles pour les 

 systèmes de coniques. Dans ces systèmes /«, /tt', a^ et a^,' sont les seuls des 40 nombres 

 qui ne soient pas nuls; les équations (3) et (3') donnent a2' = 2/u — ^', «.^•=2/*' — /u; les 

 nombres cherchés ne dépendront donc que de fi et (t'. 



Nous rappellerons encore ce théorème de M. Chasles qu'il y a dans un système 

 d'ordre quelconque n^'n + n^fi' courbes tangentes à une courbe donnée de l'ordre n^ et 

 de la classe «i' (')• Les autres nombres dans le texte danois sont les suivants: 



(') Ma démonstration de ce tliéorème dans les «Mathematische Annalen» S^e vol. p. 153, montre qu'il 

 est appiicible aux cas où la courbe fixe ou les courbes du système ont des points singuliers, 

 bien que je n'y fasse pas expressément la dernière de ces suppositions. 



