xni 



l'ordre du lieu des points où une tangente en un point double d'une courbe du 

 système rencontre encore la courbe (22); 



l'ordre du lieu des points où la tangente en. un point cuspidal d'une courbe du 

 système rencontre encore la courbe (23); 



l'ordre du lieu des points où la droite joignant deux points doubles d'une courbe 

 du système rencontre encore la courbe (24); 



l'ordre du lieu des points où la droite joignant un point double d'une courbe du 

 système à un de ses points cuspidaux rencontre encore la courbe (2ô); 



l'ordre du lieu des points où la droite joignant deux points cuspidaux d'une courbe 

 du système rencontre encore la courbe (26). 



Les deux premiers de ces nombres deviennent nuls pour w = 3, les trois derniers 

 pour w = 4. Les équations qu'on trouve ainsi, peuvent se déduire de celles du n''24, si 

 l'on observe que, dans ces cas, aussi plusieurs des 40 nombres deviennent nuls à cause de 

 leur signification. Mais il en existe une autre application: dans les mêmes systèmes 

 où l'on trouve ainsi des équations, on peut déterminer les nombres [b] et 

 [c] des courbes dont un point double ou cuspidal est situé en un point 

 donné P, par lequel les courbes du système doivent passer. En effet, pour ces 

 systèmes, les nombres p, q, x , y, s seront composés des nombres des courbes ayant des 

 branches droites passant par P et des nombres [b] et [c], tous ces termes étant multipliés 

 par certains coefficients, et' ces différents coefficients seront les mêmes qui, 

 dans les expressions (22) — (26), appartiennent aux termes correspondants 

 (voir 36—39). 



34. Application aux systèmes où J = e = 0. — Tant que le nombre des 



points donnés est > ^ , ces systèmes ne contiendront pas d'autres courbes à 



branches multiples que les courbes a. On peut donc y appliquer les formules du n° 24 

 jusqu'à cette limite. 



35. Systèmes «=3, d=0, e=l. — Les systèmes de courbes du 3°"^ ordre 

 (cubiques) ayant un point singulier, et les systèmes de courbes du 4""' ordre Iquartiques) 

 présentant trois points singuliers, ne contiennent pas ordinairement d'autres courbes à 

 branches multiples que des courbes a ou a'. On en profite dans les n"* 35 — 39. 



36. Systèmes n=3, d= I, e=0. 



37. Systèmes n = i, d=\, e=2. 



38. Systèmes w = 4, d=2, e=\. 



39. Systèmes n = 4, c? = 3,e = 0. — Tant qu'un des systèmes dont nous 

 parlons dans les n°s 35, 36, 37, 38, 39 ne contient que des courbes singulières ordinaires, 

 on peut exprimer le nombre des courbes du système qui satisfont à une condition nou- 

 velle par 2, 2, 4, 5, 3 nombres caractéristiques (/t, /u', b..,\ voir le n» 33). 



40. Projections d'une série de sections planes d'une surface algé- 

 brique. — Les projections des sections d'une surface algébrique faites par les plans d'un 

 faisceau forment un système où il se trouve une droite n-tuple. Les quantités dont les 

 points et les tangentes d'une courbe voisine de cette courbe singulière s'éloignent de ses 



