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propres points et tangentes sont proportionnelles à Æ, si k est l'angle infiniment petit des 

 plans du faisceau qui correspondent à ces deux courbes. On a donc ici un exemple d'un 

 cas où il est facile de déterminer les termes supplémentaires des formules du n° 24, dus à 

 une courbe multiple du système (voir le n''24). On trouve ainsi la plupart des formules 

 de Salmon et Cayley exprimant les relations entre les nombres des singularités d'une 

 surface. Les notations indiquées en parenihèses sont celles par lesquelles j'ai désigné ces 

 nombres dans un mémoire publié dans les «Mathematische Annalen« vol. 4 p. 1. 



Troisième partie. 



Courbes à branches multiples, notamment celles qu'on troure dans les systèmes de courbes du 

 troisième et du quatrième ordre. 



Notations. 



Dans les formules numériques de la troisième et de la quatrième partie, j'em- 

 ploie, à côté des notations indiquées au commencement de la première partie, les suivantes, 

 qui ont toutes rapport à des systèmes de quartiques, A et g s'appliquant en même 

 temps à des systèmes de cubiques. 



I est le nombre des courbes douées d'une branche droite double de la deuxième 

 espèce (42); 



II celui des courbes douées d'une branche droite double de la troisième espèce (44); 

 l celui des courbes douées d'une branche droite double de la quatrième espèce (45); 

 y, celui des courbes composées de deux branches doubles de la première et de la 



deuxième espèce (46); 



X celui des courbes douées d'une branche droite triple (47); 



V celui des droites quadruples (47); 



1? celui des coniques doubles (48); 



tl) celui des courbes composées d'une conique et d'une droite double qui y est 

 tangente, et ayant un point double au point de contact (52); 



yt^ celui des courbes composées de deux droites doubles de la deuxième espèce, et 

 ayant un point double au point d'intersection (53). 



Dans les figures, nous désignons par a un sommet simple. 



Dans les formules analytiques qui représentent des courbes douées d'une 

 droite multiple, nous prenons celle-ci pour axe y = 0, et désignons par A, B, C ... des 

 fonctions de x et ij, par a, b, c . . les fonctions de x qui en résultent pour y = 0, par xp 

 une fonction àe x, ij ei k qui ne devient pas infinie pour k = 0. Les nombres ajoutés 

 (A^, Jg . .) indiquent les degrés des expressions non homogènes A, B . . el a, b, . . . . 

 (Dans le n" 43 d'autres notations s'y joignent). 



