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41. Courbes douées d'une brandie droite double de la première 

 espèce. — La courbe correspondant à ^ = dans le système représenté par 



A-2 2/-+5„/.; + t//Æ2 = (I) 



aura, en général, la droite y = pour branche double, les n — 2 points d'intersection de 

 celle-ci avec la courbe residue A„-2 = pour sommets triples, et les «points déterminés 

 par è„ = pour sommets simples. Les distances de la branche double aux branches 

 de la courbe voisine qui tendent à coïncider, seront proportionnelles à kh Seulement celles 

 des sommets triples seront prop, à h' (voir la fig. 23). 



Ces courbes ne sont pas des courbes singulières ordinaires d'un système de cour- 

 bes sans points singuliers dont l'ordre est > 2. Les courbes «' (qui demandent un certain 

 nombre de points singuliers, voir 8) en sont des cas particuliers. 



42. Courbes douées d'une branche droite double de la deuxième 

 espèce. — Si dans l'équation (I) y est facteur de S„, on aura une équation de la forme 



A-2y- + 25„_iyÄ;+ C„Ä!2 +üyÄ;3 = 0. (Il) 



La courbe k = Q aura alors des sommets doubles aux points d'intersection de la 

 droite double «/^O avec la courbe residue ^„_2=0, et 2(w— 1) sommets simples déter- 

 minés par 



è^_i — a„_2 c„ = 0. (IV) 



La distance de la branche double aux branches de la courbe voisine qui tendent à 

 coïncider, devient prop, à h. Seulement les distances d'un sommet double aux deux bran- 

 ches qui tendent à le former — mais non pas à une troisième branche qui tend à y 

 passer — seront prop, à k^, ces branches ayant les mêmes propriétés que celles d'une 

 courbe voisine d'une courbe «j ou a„. 



Ces courbes sont des courbes singulières ordinaires d'un système de courbes sans 

 points singuliers. 



Les fig. 24 et 25 représentent, pour un système de quartiques, deux différentes manières 

 dont une courbe variable du système peut passer par une de ces formes limites. On trou- 

 verait de même 2"— 3 formes de passage si les courbes étaient de l'ordre n. 



43. Différentes représentations des courbes douées d'une branche 

 double de la première et de la deuxième espèce. — La discussion du n° 42 n'est 

 plus applicable au cas où l'équation (IV) est identique. Une des manières (et si n = 2 ou 

 = 3, la seule) dont cela peut arriver est si è„_i = a„_2Si; c„ = c„_2Ôi^. La discus- 

 sion de l'équation qu'on obtient alors (Vil) est analogue à celle du n°4l, à moins que 

 l'équation qui détermine les sommets simples ne soit identique. Alors la discussion (de 

 l'équation (IX)) devient analogue à celle du n<'42, à moins que bn-i"^ — an-2C„ ne soit 

 identiquement = 0. Si cette identité a lieu de la même manière que dans le cas précé- 

 dent, on revient à une discussion analogue à celle du n°4I, et ainsi de suite. On ren- 

 contre ainsi les deux formes d'équations suivantes: 



jcr^^yf'^' + 27?f;2j yiokr+i + cwF'-f' =- 0, (Xll) 



^(r^^yr)2 -1- 2£Wj^(r)^r-t-l _^ qr)/^2r+2 = Q, (XIII) 



OÙ T/C-» = y-f èiA:-f-i'iA--f-...èi('-'>Â;'- = 0, (XIV) 



