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et où ^W, 5M, Cf""' sont des fooctions de x, ^W et k qui ne sont pas divisibles par k; 

 bi, h^' ... sont des fonctions de x. La courbe Æ = 0, dans le système (Xil), a les mêmes 

 branches et sommets que la courbe singulière du système du n°41, et la courbe k=0, 

 dans le système (XIII), les mêmes que la courbe singulière discutée dans le n" 42. Seule- 

 ment les ordres des distances infiniment petites aux courbes voisines sont altérées. Nous 

 disons que les équations (XII) et (Xlil) sont de nouvelles représentations des courbes douées 

 d'une branche droite double, respectivement de la première et de la deuxième espèce. 

 Dans des cas particuliers, l'équalion (XIII), ainsi que l'équation (II), peut aussi représenter 

 des courbes de la première espèce. 



Quant à l'usage de ces différentes représentations, nous nous bornerons aux exemples 

 suivants : 



Une courbe de la première espèce sera, en général, représentée par une équation 

 renfermée dans la forme (II), si la droite double est tangente à l'enveloppe du système (passe 

 par un point donné du système), et par l'équation (VII) [équation (XII) oi\ /•=!], si l'en- 

 veloppe passe par un sommet triple [voir les équations (XV) el (XVI)[. Une courbe de la 

 deuxième espèce sera représentée par l'équation (IX) [équation (XIII) où r=l], si l'enve- 

 loppe passe par un sommet double [comparer aux n°s 11 — 13]. 



Il faut compter une courbe représentée par l'équation (XIII) r + 1 fois dans le 

 nombre g. 



44. Quartiques douées d'une branche droite double de la troisième 

 espèce. — Si n = 4, l'équalion (IV) peut devenir identique d'une seule manière différente 

 de celle que nous avons supposée dans le n° 43; c'est pour a.^ = a^^, b^ = a^ b^, c^ = b^^. 

 Alors l'équation du système devient: 



(«1 y + b^k)^ j^ c^y^ + C^y"-k -^ C^yk"- + G^k^^ + xU.k'' = 0. (XVIII) 



La courbe Æ = sera composée d'une conique et d'une droite double qui y est 

 tangente. Le point de contact sera un sommet triple, et la droite double aura 7 sommets 

 simples déterminés par l'équation 



b^^ Cl —Ol b.^'^ c^ 4-01^ ^2 C3 — «1^ c^ = 0. (XIX) 



Les branches d'une courbe voisine qui tendent à coïncider seront à des distances 

 prop, à k de leur position limite, mais à des distances prop, à k'' de l'hyperbole a^y-{-b^k = (); 

 les branches qui tendent à former le sommet triple seront à des distances de celui-ci prop, à 

 Æa. — Les tangentes doubles qui coïncident avec la droite double auront pour points de 

 contact les sommets simples, et, des 24 points d'inflexion, trois coïncident dans chacun des 

 sommets simples et dans le sommet triple (voir la ßg. 26). 



Les courbes dont il s'agit sont des courbes singulières ordinaires d'un système de 

 quartiques générales. 



45. Quartiques douées d'une branche droite double de la quatrième 

 espèce. — SI l'équation (XIX) devient identique, l'équation du système devient 



(a, y + b^ kf -f 2 (Co 7f +c,yk + c, k^) (a, y 4- b, k) + d^y' + D^y^k+ D^y^- k^ 



+ D.iyk^ + D^k* +ipk^ =0. (XX) 



