XVII 



La courbe /,; = O sera composée de deux droites simples et d'une droite double, 

 qui passe par leur point d'intersection. Ce point sera un sommet quadruple, et la droite 

 double possède encore 8 sommets simples déterminés par 

 {b^^Cg—a,b,_c^+a^■'c^)^—(b„*do — a,b^^d^+a^n„Jd^-a^3b^d3+a^^d^) = 0.{XXl) 



Les branches d'une courbe voisine qui tendent à coïncider seront à des dislances 

 prop, à Ä; de leur position limite, mais à des distances prop, à k^ de l'hyperbole 

 cil y + b.^ k = 0. L,6 sommet quadruple est composé de deux sommets doubles semblables 

 à ceux des courbes «2) ß' ses distances à la courbe voisine sont proportionnelles à IcK 

 Les points de contact des tangentes doubles et des tangentes d'inflexion se trouvent aux 

 sommets simples (voir la Gg. 27). 



Les courbes dont il s'agit ici sont des courbes singulières ordinaires d'un système 

 de quartiques générales. — Les courbes qu'on trouve dans le cas où l'équation (XXI) devient 

 identique ne sont pas des courbes singulières ordinaires d'un système de quartiques géné- 

 rales. L'équation (XIII) peut conduire à de nouvelles représentations des courbes singu- 

 lières dont nous avons parlé ici et dans le n" précédent. 



46. Quartiques composées de deux droites doubles. — Les seules 

 courbes composées de deux droites doubles qu'on rencontre ordinairement dans un système 

 de quartiques générales, sont celles dont la représentation la plus simple s'obtient 

 en remplaçant, dans l'équation (11) (du n° 42), A^ par un carré (x-). On trouve alors l'équa- 

 tion (XXII). La droite double y = est de la seconde espèce et douée de 6 sommets, et 

 la droite double x = 0, de la première espèce et douée de 3 sommets. Le point d'in- 

 tersection est un sommet triple de la même forme que ceux dont il a été parlé dans le 

 n°4l, avec la seule différence qu'il y passe une branche qui ne contribue pas à sa forma- 

 tion. (Voir la fig. 28). 



47. Courbes de l'ordre n avec une branche droite r-tuple. — Dans le 

 système représenté par l'équation (XXIll), la courbe a; = a la droite y = pour branche 

 r-luple. Ses points d'intersection avec la courbe residue sont des sommets doubles, et 

 elle a encore {r—\)(2n—r) sommets simples. n = r = 3 donne des courbes singulières 

 ordinaires d'un système de cubiques, et n = 4, »• = 3 ou r = 4, des courbes singulières 

 ordinaires d'un système de quartiques. Dans ces deux derniers cas, un des sommets ne 

 sera pas déterminé immédiatement par les conditions données, [mais sa position dépendra 

 de celle des autres sommets, ce qui est une conséquence du fait que 11 des tangentes 

 menées d'un point à une quartique en déterminent la 12*°"=. 



48. Coniques doubles. — On trouve ordinairement, dans un système de quar- 

 tiques générales, des coniques doubles douées de 8 sommets. Représentée par l'équation 

 (XXIV), une de ces courbes est à une distance proportionnelle à k'^ des deux branches 

 d'une courbe voisine qui tendent à coïncider. 



49. Règles pour compter les courbes douées de branches mul- 

 tiples. — Dans un système de courbes tangentes à une courbe donnée C, une 

 courbe singulière dont une branche »--tuple a ce contact devra être comp- 



Vidensk. Selak. Skr., b llæbkc, ualurvideaali. »g njsthein. Afd. lU U. IV. C 



