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tée, parmi les courbes singulières de même espèce du système, pour un 

 nombre r fois plus grand qu'elle ne le serait si c'était une branche simple 

 qui fût tangente à C La courbe C peut être, en particulier, une droite ou un point 

 (par lequel les courbes du système passent), et les branches de la courbe singulière peu- 

 vent être des droites ou des sommets (qui se trouvent sur C). 



En effet, si, pour la représentation la plus simple, les distances des branches d'une 

 courbe voisine qui tendent à coïncider avec la branche r-tuple sont irrationnelles, il faut, 

 au cas où cette branche est tangente à C, remplacer cette représentation par une autre, 

 dans laquelle la courbe singulière doit être comptée pour >•, et, si les distances sont ration- 

 nelles, la courbe singulière est la limite de r différentes séries de courbes du système. 

 (Comparer aux n°s 11, 12 et 43). 



On trouve au moyen de cette règle, à des facteurs constants près, les 

 nombres |, ç..^ des courbes singulières d'un système de cubiques ou de quartiques qui 

 sont tangentes à des courbes données, ou au moins (courbes X et v) les valeurs des ter- 

 mes dont ces nombres sont composés. On trouve expérimentalement les valeurs de ces 

 facteurs au moyen des vérifications qui se présentent dans la recherche des caractéristiques 

 élémentaires. Pour les systèmes de cubiques, les facteurs constants des nombres | et il 

 sont 1 et 40. Pour les systèmes de quartiques, le facteur de ç, f, x, ^ (et de li/ et x 

 dont nous parlerons dans ce qui suit) est 1, et celui de | est 2 tant que le passage par 

 une courbe | se fait de deux manières différentes (voir la description des figures dans le 

 n" 42), mais, dans le cas contraire, seulement 1 (voir les n°s 65, 56, 57, 62, 64 et 65). Les 

 valeurs des coefQcients des différents termes de ^ et »» sont indiquées aux endroits de 

 la 4""* partie où nous les trouvons. 



."50. Formules pour les systèmes |w = 3 , d = e'=0. — Nous pouvons à 

 présent déterminer les coefQcients des termes supplémentaires qui rendent les formules 

 trouvées dans la deuxième partie, applicables aux cas où les systèmes de cubiques ou de 

 quartiques sont doués de courbes à branches multiples appartenant aux courbes singulières 

 ordinaires. Nous attribuons ici aux formules les mêmes n°s qu'à celles dont elles sont 

 formées (voir le texte danois). 



51. Formules pour les systèmes »2 = 4, d — e = 0. — Nous avons écrit les 

 coefficients de manière à faire voir comment ils sont formés d'après la règle du a" 26. Ces 

 coefficients indiquent donc les ordres des différentes quantités infiniment petites, savoir: 

 1° ceux que nous avons trouvés dans ce qui précède; 2° ceux que nous avons encore 

 trouvés directement de la même manière, et 3° ceux que nous trouvons indirectement en 

 faisant usage des vérifications que permet le nombre superilu d'équations. Tous les coef- 

 ficients des formules (3), (3'), (9) et (12) appartiennent à la première catégorie. Le mémoire 

 donne donc une démonstration directe de ces formules, qui servent à la détermination des 

 caractéristiques élémentaires. 



52. Nouvelle espèce de courbes douées d'une branche droite double 

 dans les systèmes «=4, d== I, e = 0. — Dans les systèmes de quartiques douées d'un 



