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point double, on trouve, à côté des cas particuliers de celles dont nous avons parlé, les 

 formes pins modiflées dont il est question dans les n°s 52 et 53. 



Les sommets doubles d'une quartique douée d'une branche droite double de la 

 deuxième espèce (voir le n° 42), peuvent coïncider et former un point double et un sommet 

 double. On aura ainsi une courbe composée d'une conique et d'une droite double qui y 

 est tangente; le point de contact est à la fois un point double et un sommet double, et 

 la droile double est douée de 6 sommets simples. La représentation la plus simple de 

 cette courbe se fait par une équation renfermée dans la forme (IX) (voir le n°43); les di- 

 stances de la droite double aux branches d'une courbe voisine qui tendent à coïucider 

 sont prop, à h, mais la distance entre ces branches est prop, kk^; la distance du sommet 

 double aux branches qui tendent à le former, et l'angle des tangentes au point double de 

 la courbe voisine, sont prop, à Æ^. 



Voir la fig 29. — Si la courbe residue se réduit à deux droites imaginaires ou réelles, on aura 

 une courbe singulière ordinaire d'un système de quartiques douées d'un point cuspidal; voir les figures 30 et 31. 



53. Nouvelle espèce de courbes douées de deux branches droites 

 doubles dans les systèmes n = i, d^l, e = 0. — On trouve encore ordinairement 

 dans ces systèmes, des courbes composées de deux droites doubles dont le point d'inter- 

 section est à la fois un point double et un sommet double; chacune des deux droites doubles 

 a encore 4 sommets. La distance à une courbe voisine est, pour la représentation la plus 

 simple (XXV), prop, à k. Seulement celle du sommet double, qui est semblable à ceux 

 des courbes «2) ^ux branches qui tendent à le former, est prop, à kK Voir la fîg. .32. 



54. Formules pour les systèmes n = 4, c?=l, e = 0. — Les courbes à 

 branches multiples qu'on trouve ordinairement sont les courbes a, xp et ;(, des courbes 

 I, dont la courbe residue est composée de deux droites, et des courbes X et v, où le point 

 double est formé par la coïncidence de deux sommets. 



Dans les systèmes où le point double doit se trouver en un point donné ou sur 

 une droite donnée, on trouve encore des courbes J, tj, J, x, et ^ dont les points doubles 

 sont formés par la coïncidence de deux sommets, fj est le nombre des courbes J ordinaires; 

 52, celui des courbes Ç extraordinaires; »i et Xg désignent respectivement les nombres des 

 courbes x dont le point double se trouve sur la droite double de la première ou de la 

 deuxième espèce. Nous mettons ici et dans le n" 55 en parenthèse carrée les termes dus 

 aux courbes singulières extraordinaires. 



55. Systèmes « = 4, d^l, e = 0. — Jo est le nombre des courbes J où deux 

 sommets simples, en coïncidant avec un sommet double, forment deux points doubles. [A], 

 ['']) [øl) Iz] sont les nombres des courbes A, v, xp, % dont la droite multiple qui joint les 

 deux points doubles passe par un des points donnés du système. 



56. Systèmes de quartiques dont deux branches se touchent. — Dans 

 les courbes Ç de ces systèmes, trois sommets simples coïncidant avec un sommet double 

 forment le point de contact de deux branches et un sommet simple, x est le nombre des 

 courbes où le point de contact est devenu point triple; h^ l'ordre du heu du point sin- 

 gulier, et X la classe de l'enveloppe de la tangente en ce point. 



