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57. Systèmes de quartiques douées d'un point triple. — Dans les 

 courbes Ç le point singulier est formé par la coïncidence de 4 sommets simples avec un 

 sommet double. 



58. Exemples de courbes réciproques à Ç et A. — Extension des formules 

 du n° 35 au cas où il y a aussi certaines courbes singulières extraordinaires. 



Quatrième partie. 



Détermination des caractéristiques des systèmes élémentaires de quartiques. 



59. Systèm'es w = 3, d = 0, e = I. — Nous désignons par [P] le nombre des 

 courbes qui ont une tangente donnée en un des points donnés du système , et par [L] le 

 nombre de celles qui ont un point de contact donné avec une des tangentes données. 



60. Systèmes ?« = 3, d=\, e = 0. 



61. Systèmes n = 3, d = e = 0. 



62. Systèmes de quartiques douées d'un point triple. — Le problème 

 principal de la recherche des caractéristiques élémentaires de quartiques, c'est la déter- 

 mination de celles des quartiques générales. Pour atteindre à ce but (n" 70), 

 nous devons d'abord (dans les n°s 62 — 69) nous occuper de beaucoup d'autres systèmes 

 de quartiques. Cette suite de recherches fournira tant de moyens de déterminer aussi les 

 caractéristiques des systèmes de quartiques qui resteront encore, qu'on ne rencontrera pas lade 

 nouvelles difficultés sérieuses, ce que nous montrerons par quelques exemples dans le n"?!. 



Pour le système actuel on fait usage des formules du n° 57. On peut déterminer 

 «D ?) [?](')• I^äns le premier système (èj]= 1, et dans les autres on connaîtra d'avance (t. 



63. Systèmes k = 4, <^=3, e = 0. — Voir 39. On aura des vérifications en 

 égalant le (i' d'un système au /u du suivant. 



(') Nous mettons — dans les exemples de déterminations de nombres de courbes singulières — avant 

 les signes { ) les facteurs qui correspondent aux diflerents clioix des tangentes qui déterminent les 

 sommets simples, et avant les signes [] ceux qui correspondent aux autres sommets. Où il est 

 nécessaire, nous ajoutons aux nombres des points ou des accents, pour indiquer qu'ils appartiennent 

 à des points ou à des tangentes données. — On fait parfois plusieurs applications d'une même dé- 

 termination: f, dans les nos 62 et 64; |, et y,, dans les nos 67 et 69; f^, ^ et f, dans les n»s 68 

 et 70, en sont des exemples. — Les barres noires des tables séparent, pour chaque système, les 

 nombres qu'on doit connaître ou déterminer d'avance de ceux qu'on en déduit. [Dans la table du 

 n» 62, la barre devait séparer ft et fi' dans tous les systèmes à l'exception du premier]. 



