Liouville har i Joum. de l'école polyt. cah. 22 & 23 og i Journ. des math, tome II 

 og IV meddelt en Hække Undersøgelser angaaende Integration af explicite Uifferentialer og 

 Differentialligninger, idet han som Grundlag har benyttet den af hara selv angivne Theori 

 om Funktionernes Inddeling. Skønt denne Theori er overordenlig simpel, er det dog lykkedes 

 ved dens Ujælp at be\ise et ikke ringe Antal Sætninger, af hvilke nogle vel tidligere vare 

 bekjendte, medens andre derimod ere nye. 



Det er de af Liouville anvendte Methoder, som nedenfor ere benyttede til at finde 

 de simpleste Former for de Funktioner, som tilfredsstille den partielle Differentialligning, 

 der definerer den Eulerske Faktor svarende til visse totale Differentialligninger mellem 2 

 Variable, og af første Orden. 



Her anføres de af hans Sætninger og Betegnelser, som i det Følgende ville blive 

 benyttede. 



Man kalder y en algebraink Funktion af x, hvis y er Rod i en algebraisk Ligning 

 af Formen 



U = i/^+?.i/^-' + ?oS^"-- + ..-.?^_i!/ + ?^ = O, (1) 



hvor ji, g'2 , S's •••• ?u ^''6 rationale Funktioner af x. 



Dersom Ligningen kan opløses med Hensyn til ij, kan y fremstilles som en explicit 

 algebraisk Funktion af æ; er dette ikke Tilfældet, er y given implicite som Funktion af x. 



Det vil altid være tilladt at antage om (1), at den er irreduktibel , d. v. s., at det 

 samme y ikke kan være Rod i nogen anden Ligning af lavere Grad med rationale Koeffi- 

 cienter i X. 



Hvis (1) er irreduktibel, vil en Ligning som 



?; 2/''-' + ?; y"-' + • • • qf,_2 y + 2'^-i = O , 

 hvor g'o , q\ ... ere rationale Funktioner af x, kun kunne existere, hvis den er identisk, 

 d. V. s., h\is 



q'o = 0, 2; = o, ... q^_^ = 0. 



