438 4 



Dersom den ved den irredulctible Ligning (1) bestemte Funktion y ogsaa er Rod i 

 en anden algebraisk Ligning 



fiy) = o, 



som enten er af samme Grad eller af højere Grad end {\) og ligeledes har rationale Koef- 

 ficienter i a-, saa maa alle de andre Rodder i {\) ogsaa tilfredsstille Ligningen 



fiy) = 0. 



Man kan let overbevise sig om, at hvad der her er sagt under Forudsætning af, al 

 ij kun er Funktion af én uafliængig Variabel, gjælder ganske almindeligt ogsaa uden denne 

 Indskrænkning. 



Transcendent kaldes enhver Funktion, som ikke er algebraisk. Logarithmiske Funk- 

 tioner og Exponentialfunklioner ere saadanne Transcendenter. 



De transcendente Funktioner kunne ligesom de algebraiske være givne enten expli- 

 cite eller implicite. I det Følgende lages kun Hensyn til de explicite givne Transcendenter. 

 Disse deles i Tran.scendenterne af 1ste, 2den, 3die, . . . nie Orden; en explicite given trans- 

 scendent Funktion er af 1ste Orden, hvis dens Udtryk kan skrives ved en Kombination af 

 algebraiske Funktioner med saadanne Transcendenter, som have algebraisi<e Funktioner til 

 uafhængige Variable. Skal en explicite given Transcendent være af 2den Orden, maa den 

 indeholde transcendente Funktioner af Transcendenter af første Orden, og den kan desuden 

 indeholde baade algebr. Funktioner og Transcendenter af 1ste Orden. I Almindelighed vil 

 en explicite given Transcendent være af «te Orden, hvis der i dens Udtryk indgaar transcen- 

 dente Funktioner af Transcendenter af Ordenen n—l. 



En Transcendent kaides monom, hvis den kun bestaar af et enkelt Led. Saa- 



ledes er _ 



1(^1 +e"x + 1(1 +xi) 



en monom Logarithme af 2den Orden. 



Lad 



f/=/(e, ,?,....£) 



være en Transcendent af nie Orden, idet / er en algebraisk Funktion at de monôme Tran- 

 scendenter e, 1?, . . . C îif «le Orden. Funktionen / kan desuden indeholde baade alge- 

 braiske Funktioner og Transcendenter af lavere Ordner. Dersom Antallet af Transcendenter 

 af nte Orden er reduceret saa meget som muligt, maa enhver Ligning mellem dem være 

 identisk med Hensyn til de nævnte Størrelser. Dersom derfor en eller anden Regning 

 har ført til en Ligning mellem de nævnte Funktioner, saaledes at der i Ligningen ikke 

 forekommer andre Transcendenter af nte eller højere Orden, maa 6, i?, . . . f kunne er- 

 staltes ved vilkaarhge Bogstaver. 



