439 



I Di 



fferentialligningea 



M + N^ = "(1) 



ax 



antages J/ og iV at være hele rationale Funktioner af x og y. Den til Ligningen hørende 



Eulerske Faktor (p skal som bekjendt tilfredsstille følgende Differentialligning: 



dy dx \dy "■xj 



Det skal først undersøges, af hvad Beskaffenhed <p maa være, hvis den er en alge- 

 braisk Funktion af x og y. I saa Tilfælde skal den være Rod i en algebraisk Ligning af 

 Formen: 



<Z> = <^'" + S'i </'"*"' i- Î2 V"'~^ + <lm-\ (f + Qm = O, (3) 



hvis Koefficienter ere rationale Funktioner af x og y. Det er altid tilladt at antage om 

 denne Ligning, at den er irreduktibel. Differentiation af (3) giver: 



dø dø '^V _ n 



dx d(f dx ' 



dø dø dtp 



dy d(f ' dy 



(4) 



Man eliminerer nu -— og -r^ mellem (2) og (4). Derved udkommer der en ny 

 algebraisk Ligning i ep med rationale Koefficienter; vi betegne den nye Ligning ved 



©1 = 0. (5) 



Den Rod i (3), som tilfredsstiller (2), maa gjøre (5) identisk. Da saaledes (3) og (5) have 

 én Rod fælles, maa, eftersom (3) er irreduktibel, ogsaa alle andre Rødder i (3) tilfreds- 

 stille (5), og altsaa maa samtlige Rødder i (3) være partikulære Integraler i (2). 



Betegnes en hvilkensomhelst af disse Rødder ved q^r, skal man altsaa have: 



j^.d(pr XJ-'^Vr (dM dN\ 



dy dx "'\dy dxj 



