440 



Denne Ligning multipliceres med (t(ff^-^ , hvor ju er et positivt helt Tal. Derved 

 erholdes: 



Betegnes nu ved 



<fl, <P2, ^>-l, Vr+l, <fm 



de andre Rødder i (3), saa kan man af (6) let udlede: 



dS^ dS (dM dN\ 



hvor 



Man ser altsaa, at S^ og (/^ tilfredsstille den samme Differentialligning. 8 er 

 er en rational Funktion af x og y, og dersom Ligningen (3) overhovedet exislerer, mua der 

 altid være mindst én Værdi af S , som er forskjellig fra Nul, idet man lader (t fijenncm- 

 løbe de positive hele Værdier fra 1 til m. Kan man altsaa for /* og S unde Værdier af 

 den ovennævnte Beskaffenhed, som tilfredsstille (7), saa kan man som Integrationsfaktor tage 



<P = {/^. (8) 



Den praktiske Udførelse af Beregningerne kan undertiden lettes ved følgende Be- 

 tragtning. Det vil kunne indtræffe, at den rationale Funktion S er en Potens (med pos. 

 eller neg. hel Exponent) af en anden rational Funktion h. Lad os derfor sætte: 



» 



Da bliver (7) til: 

 og af (8) faar man: 



i" n 



.dk ,^dk ,/dM dN\ 



^^-^^+^H"^-^J='' •'» 



i hvilke Ligninger altsaa k er rational, r positiv eller negativ, hel eller brudden. Dersom 

 (9) kan tilfredsstilles derved, at man for k indsætter en hel Funktion, faar man ep bestemt 

 som en Rod af en Brøk med 1 til Tæller, hvis r er negativ, og som en Rod af en hel 

 Funktion, hvis r er posisiv. 



Dette kommer f. Ex. til Anvendelse, naar man søger Integrationsfaktoren til Ligningen: 



a^ + X7J + y^ — (o2 + a;y + x"^] -^^ = 0. 

 (Tidsskr. for Math., 2den Række, 2den Aargang, Side 18). 



