11 44& 



Hvis altsaa F {x,?/,6) er en Integrationsfaktor, saa er F (x, ij, O + (i) det ogsaa. Ved at 

 differentiere (10) m. H. t. (i og bagefter sætte /i* = O, vil man se, at de partielle Differential- 

 koefficienter af F m. H. t. d, som vi her ville betegne ved: 



Fg'{x,y,e), Fg"{x,y,e), 



alle ere Integrationsfaktorer, hvis F{x, y, 6] er det. Forholdet mellem F{x, y, Ö) og Fg {x, y, Ö) 

 kan ikke være uafhængigt af 6. Betegner man nemlig med A en Funktion af x og y, som 

 ikke Indeholder O og ikke indeholder Transcendenter af højere Orden end den n'% og man 

 sætter: 



Fg'{x,y,e) = AF(x,9j,d), . 



saa vil det være tilladt i denne Ligning at erstatte Ö ved en vilkaarlig Størrelse i. Altsaa 

 har man: 



dF (x. y, i) , „, 



Er nu e"o en speciel Værdi af z', saa følger heraf 



F{x-,y,f\ = F{x,y,i^)e*^'-*J. 



Men den ene Side af denne Ligning er m. H. t. i en algebraisk Funktion, den anden 

 en Exponentialfunktion, og Ligningen indeholder altsaa en Urimelighed. Striden kan ikke 

 hæves ved at gjøre A til Nul, thi da blev F(x,y,0) uafhængig af 6. 



Heller ikke kan man have 



Fe' {X, y, e) 

 hvor B er uafhængig af Ö. Thi ogsaa her vilde det være tilladt at erstatte ß ved et vil- 

 kaarligt Bogstav i, saa at man fik: 



d^ F {x, y, i] _ d F (æ, y, i) ^ 

 dP di 



Men heraf vilde følge : 



F{x,y,t] = «e«' + ß, 



hvor a og ß ere uafhængige af i; men denne Ligning er urimelig. Resultatet gjælder ikke, 

 hvis J5 = O, i hvilket Tilfælde man faar: 



Fg'{x,y, ÖI = y, 



hvor ;' ikke indeholder 0. Da nu Fg' {x, y, 6) er en Integrationsfaktor ligesaa vel som 

 F(x,y,ß), saa ser man, at Antagelsen 



Fg" {X, y, Ö) = O 

 medfører den Konsekvens, at der maa være Faktorer, som indeholde et ringere Antal Tran- 



57* 



