462 18 



hvor C, og C, ikke indeholde 0. Indsætter man delte Resultat i (p's Differentialligning, 

 finder man: 



/dM dN\ 



Da nu Forholdet mellem F{x,y,0\ og 6Fg'{x,)j,e} ikke er uafhængigt af 6, maa 

 i den nys opskrevne Ligning Koefficienterne til x "S z' forsvinde hver for sig. Koefficienten 

 til X giver: 



dy dx \ dy dxj 



Men denne Ligning viser, at der maa være en simplere Faktor C'i, som gjør Dif- 

 ferentialligningen integrabel, og da dette Resultat strider mod den fra Begyndelsen af gjorte 

 Antagelse, saa udtrykker (16) den eneste mulige Form for Faktorer af denne Art. Der er 

 vel her kun taget Hensyn til en enkelt af de exponentielle Transcendenter, som Funktionen 

 F kan indeholde, men de andre maa indgaa deri paa samme Maade som Ö, og hvis man 

 derfor betegner samtlige Exponentialfunktioner ved o;, ö,^ , ... 6„, saa maa man have: 



hvor a er en Funktion, som ikke indeholder Transcendenter af «"" Orden, og ?«, , m„ . . . nip 

 ere rationale Konstanter. Man kan derfor skrive: 



(f, = ve-, (21) 



hvor u og V ere Transcendenter af Ordnen n — 1, hvis nærmere Beskaflenhed det nu kommer 



an paa at undersøge. Indsætter man Udtrykket (21) for y i (2), finder man, da e' ikke kan 



være Nul: 



,, / dv dn\ -, / dv du\ (dM dN\ „ ,„„, 



M [u ~ + —\ — N [u -r~ + ^\ -\- u {-, -T- =0. (22) 



\ dy dy) \ dx dxj \ dy dx) 



5. 



Man sætter først i (21) 



u = F (as, y, 0) , r = f (x, y, 0} , 



