456 22 



Hvis nu Forholdet mellem (f^ og (f ikke er konstant, maa der være simplere Fak- 

 torer. Hvis dette Forhold er konstant, finder man: 



2 Cl Fix, y, ti) +./■ (a-, y, ti) == C O + C" , 



hvor C er konstant og C" uafhængig af ti. Men denne Ligning er urimelig, og Funk- 

 tionerne M og V kunne altsaa ingen Logarithme indeholde. 



Dersom Funktionerne u og v indeholdt en Exponentialfunktion Ö, ük man som 

 Faktorer: 



^ _ ^2ClF{x,y.6)+f(x,rj,e) 

 Og 



dF[x,y,ti) 



., = g=.l-^c 



vr ^^ , Af{x,y,ti) \ 



-'•' ~F(x,y,ti)'^*' de J' 



Var nu Forholdet mellem <f: og ^j konstant, fik man: 



2ClF{x,y,ti) + f(x.y,ti)^ C'ld+C'\ 



hvor 6" er konstant og C" uafhængig al ti. Men denne Ligning er urimelig, fordi ti er en 

 Exponentialfunktion, og højre Side altsaa er uafhængig af ti. Dersom Forholdet mellem if og 

 <fi^ ikke var konstant, maatte der være simplere Faktorer, og da ?<i, u^ • • • u,„, r saaledes 

 hverken kunne indeholde Logarithmer eller Exponentialfunktioner, maa de nævnte Størrelser 

 være algebraiske Funktioner af x og y. — 



Af Hensyn til en senere Anvendelse bemærkes det her, al der i hele den Del at 

 den foregaaende Udvikling, som angaar Undersøgelse af transcendente Integrationsfaktorer, 

 ikke har været gjort Brug af den Omstændighed , at M og iV ere rationale Funktioner af 

 X og ?/. Den hele Bevisførelse vilde vedblive al gjælde, selv om 31 og N blot forudsattes 

 algebraiske. 



Mied Hensyn til Funktionerne v, m^, !<„, ... ?<,„ kan det endelig til Slutning be- 

 vises, at naar M og N ere rationale, saa kan det samme forudsættes om v, ?/, , ii., . . . u,„.') 



Man foreslille sig en algebraisk Funktion ti af x og y af den Beskaffenhed, al man 



kan udirykke r, ?<,, ... ??„, rationalt ved Ö, x og y. En saadan Funktion er f. Ex. Summen 



af alle Størrelserne v, ?<,, ?^, . . . ?/,„ multiplicerede hver især med sin ubestemte, konstante 



Størrelse. Lad 



== Ü 



være den algebraiske Ligning, ved hvilken ti bestemmes. 



*) Bevisformen skyldes Abel: Oeuvres touiijl. Tome I, p. 351. 



