4 58 24 



hvor U og T' ere rationale Funktioner af ar og y som den simpleste Form for en Integra- 

 tionsfaktor til en Ligning af Formen 



m + n'^J'- = O, 



ax 

 hvor M og N ere rationale Funktioner af x og y, under Forudsætning af, at der over- 

 hovedet gives en Faktor, som kan udtrykkes ved bekjendte Funktioner, og at denne Faktor 

 ikke er en algebraisk Funktion af x og y. 



Da man i det foregaaende har fundet 



f = v^, 



hvor k er en rational Funktion af a: og y og r et rationalt Tal , som den simpleste Form 

 for algebraiske Faktorer, hvis saadanne existere, og da kan man skrive: 



-'* 

 1 k = c '■ , 



saa seer man, at den algebraiske Funktionsform er indbefattet som et specielt Tilfælde 

 under den transcendente, og Resultatet af Lndersøgelsen kan nu sammenfattes i følgende 



Theorem. 



Dersom DifferentiaUigningen 



m^n'^JL = o, 



a X 

 hvor M og N ere rationale Funktioner af x og y, har Integrationsfaktorer , som kunne ud- 

 trykkes red bekjendte Fnnktioner af x og y, saa maa der blandt disse være én af Formen 



</, = e f'< lU,-\-CJU.,-^.-. CJ £/,„ + I'^ 

 hvor Ui , U.. , . . . U,i, , V ere rationale Funktioner af x og y. 



Dersom man uu vilde anvende de ubekjendte lioefQcienters Methode til at bestemme 

 Faktoren, kunde man sætte: 



Cj 1 1\ + Co. l.U,+ C,„ 1. U„. + F = lp, 



og lp skulde da tilfredsstille DilVerentialligoingen: 



dy dx dy dx 



Her maa man bemærke , at ~ og ---^ ere rationale Funktioner af x og y, og man 

 ax dy 

 kunde altsaa for disse to Differentialkoefficienter indsætte lo rationale Funktioner af æ og y 



med ubekjendte koefficienter. Man kunde altid forudsætte, at de havde den samme Nævner; 



men de maatte foruden den ovenstaaende Ligning endnu tilfredsstille 



,dxi) , dtp 



d d — — 



dx dy 



dy dx 



