460 26 



dx oe -j- bestemmes ifølge |2ô) ved Ligningerne 

 dy 



dU . dU dp ^ ^ 

 dx dp ' dx ' 



dU , du dp _ 

 dy '^ dp' dy 



Derved bliver Faktorens Bestemmelsesligning til 



_ dU dcp dU dif, I du dU\d(£^ d/U _ 



dp ' dx dp ' dy \ dy ' dx ) dp dy 



Problemet er altsaa at flnde den simpleste Form af en algebraisk Funktion af x, y, p, som 

 tilfredsstiller den ovenstaaende Ligning, idet p er en algebraisk Funktion af x og y, som 

 tilfredsstiller (-25). 



Har nu Ligningen (26) et partikulært Integral , som er en algebraisk Funktion af 

 X, y, p, saa maa det dertil svarende tp være en Rod i en irreduktibel algebraisk Ligning 



f(x,y,p,(p] = 0. (27) 



Ifølge denne Ligning kunne -^, — -^, -^ udtrykkes rationalt ved x, y, p, qi, og 



dersom man indsætter de erholdte udtryk i (26), bliver denne Ligning til en algebraisk 

 Ligning i (f med Koefficienter, som ere rationale Funktioner af x, y, p. Man slutter deraf, 

 at hvis én af Rødderne i (27) kan bruges som Integrationsfaktor, saa kunne de alle bruges. 

 Indsætter man i (26) en vilkaarlig af disse Rødder (f^, og multiplicerer man derefter Lig- 

 ningen med: (i(p^^~\ linder man: 



dU d(f,(^ dU ddrf" (du dU\d(f/^ uiE _ Ci 



^^■~d^-1''d^)-~^^Y~d^'^ dx) dp +'*'^^ dy " "• 



Belegner man nu med S« Summen af de /u,te Potenser af Rødderne i (27), saa har 



man ogsaa: 



du dtiu dU dSu I dU , dU\dSfi ^ du _ 



dp ' du 



Altsaa tilfredsstille Sfj og f/r'" den samme Differentialligning. S^ er ifølge (27) en 

 rational Funktion af x, y, p, og dersom Ligningen (27) overhovedet existerer, saa maa der 

 altid være mindst én Værdi af Su, som er forskjellig fra Nul, idet man lader ft gjennem- 

 løbe de positive hele Tal fra ! indtil det, som angiver Graden af (27). Kan man altsaa 

 finde en Værdi af (i og en tilsvarende af Sfi, som tilfredsstille den ovenstaaende Difi'eren- 

 tialligning, saa kun man som Integrationsfaktor bruge: 



