462 ^8 



Desom Differenlialligniogen 





ikke kan integreres ved en algebraisk Faktor, bliver der Spørgsmaal om, hvorvidt den da 

 kan integreres ved en Faktor, som indeholder transcendente Funktioner af de Variable. 

 Ifølge det Foregaaende, maa, da P er en algebraisk Funktion af x og y , den simpleste 

 Form for en saadan Faktor være: 



«I = pC, ^", -t-t^/«, + ■ '•„/"„, + '' ^ g2clu-\-v^ 



hvor Wj, u» 1 .... 2',/,, V ere algebraiske Funktioner af de Variable, Ci , c.^ , .... c,„ ere 

 Konstanter. 



Men da p ogsaa er en algebraisk Funktion af x og y, vil det være tilladt at be- 

 tragte v^, ... Um, V som algebraiske Funktioner af x, ?/, ;;, og det kan vises, at de paa 

 denne Maade kunne skrives under rational Form. — 



Man lænker sig da en algebraisk Funktion W af x, y og p af den Beskaffenhed, at 

 man kan udtrykke r, «i, ... u,,, rationalt ved «, x, y, p. 



= 

 er den Ligning, ved hvilken Ö bestemmes. Den antages irreduktibel. Indsættes 



if, = c^clu + r 



i Faktorens Bestemmelsesligning (26) 



dU dtp _ dU(hf /li^_L^\^4. '^ — o 

 dp ' dx ^ dy dy y dy dx) dp ^ dy ' 



faar man efter Division med ep: 



_<iU\ c du dv] ^<!U\^^^,M I /,^ . ^\ [v^^', ^'l . «^ _ o 

 dpl" udx ax\ ' dpi"^ udt/ dy\ y dy dx ) {" u dp dp\ dy 



Her kan venstre Side gjøres til en rational Funktion af O, .r, y, ^;, og Ligningen 



maa da blive identisk ved Indsættelse af L'dtrykket for ved a-, //, p. Fra dette Punkt kan 



Beviset føres videre ganske paa samme Maade som i ? 5, og man kommer til Slutning til 



følgende 



Theorem. 



Dersom Differenfialligningen 



dji _ p 

 dx 

 hvor F er en algebraisk Funktion af x og y, har Integrationsfaktorer, som kunne udtrykkes 

 ved bekjendte Funktionel- af x og y, saa maa der blandt disse være én af Formen 

 y = ,<\lO\ + r,lU, + ....CjU,„-i-V^ 



hvor b\, Ua, ... U,n, V ere rationale Funktioner af x, y og P, og 6\, C^, ... C,,, «»"^ 

 Konstanter, 



