JJet er nu fyrgelyve Aar siden Li ou ville den 8'"'= Juni 1835 forelagde for l'académie des 

 sciences sin Afhandling om Funklionernes Inddeling, Irykl i Liouvilles Journal 2. Bind, 

 og lod den følge af Anvendelser , der skabte en Methode til at afgjure , om el explicit 

 Differential eller en [lifferentialligning lader sig integrere ved endelige explicite Funktioner, 

 der ikke nødvendigvis alene maa opslaa i Integralregningen, nemlig de, som i videste Tor- 

 stand ere algebraiske, de logarilhmiske og de exponentielle, sammensalte paa en hvilken- 

 somhelst Maade. Saavidt vides har kun Liou ville selv i Begyndelsen gjort Hrng af Me- 

 thoden, i lang Tid har den hvilet, og først 1 den seneste Tid er der her hjemme foretaget 

 Undersøgelser , som bygge videre paa delte vigtige Grundlag. Ingen har senere forsogt 

 sine Kræfter paa en bedre Fremstilling af denne fortrinlige Methode, der, som et af Liou- 

 villes tidligste Arbejder, ingenlunde er gjennemtrængt af den klassiske Simpelhed, der 

 skal til for at trænge igjennem. Allerede da jeg for nogle Aar siden gjorde den til Gjen- 

 stand for en Universitetsforelæsning , trykkede Bevisernes Form mig noget , uden at jeg 

 dog følte mig stærk nok til noget Forsøg paa deres Ændring. Da lir. Dr. P. CV. Hansen 

 nylig i sin Disputats (Sætninger om Integration af explicite Differentialer og af Differential- 

 ligninger, Kbhvn. 1874) har gjort heldige Anvendelser af Methoden og, iblandt andet, vist, 

 at lineære Differentialligninger af anden Orden med Koefficienter, som ere lineære Funk- 

 tioner af den uafhængige variable , ikke har endelige explicite Integraler , samt angivet, 

 naar den lineære biuomiale Differentialligning af lige Orden kan have saaJanne Integraler, 

 og jeg derefter fik bevist, at Dr. Dansens sidstnævnte Resultat lod sig udvide til alle 

 lineære binomiale Differentialligninger (math. Tidsskrift 1874, S. 101), saa følte jeg igjen 

 saavel Savnet af Mcthodcns simple Fremstilling som dennes Vigtighed for dens videre 

 Fremgang. Et Forsøg paa en anden Fremstilling forelægges her, men det væsentlige Ind- 

 hold er Liouvilles, Formen er min. Del er vistnok ikke lykkedes at opnaa alle de For- 

 bedringer, jeg kunde ønske, men nogie Beviser og Enkeltheder synes mig simplere, og 

 dog ikke mindre exakte , et Resultat i del mindste er fyldigere. Maalet for Methoden er 

 her Undersøgelsen af de lineære Differentialligninger , der følge nærmest efter den af 



68* 



