522 



Liüiiville beliaiidlede ij" — Py = ^ hvor P er en hel algebraisk rational Finiktion. Jeg 

 hnr nemlig behandlet de to Tilfælde, hvor P har Formerne — og ~ , idet M os N ere 



hele algebraisk rationale Funktioner, N tillige uden ligestore Faktorer, og i begge Tilfælde 

 fundet , at deres Integration ved endelige explicite Funclioner er afhængig af saa mange 

 lietingelser, at den i de fleste Tilfælde er uudførlig, men tillige bestemt Integralets Form, 

 naar det bliver af den anførte Art. Men hver Gang man har foretaget slige Indersøgelser 

 styrkes Overbevisningen om , at de allerfitste nifferenlialligningcr ikke have endelige ex- 

 plicite Integraler, men føre til nye Functionsformer, hvis nærmere Undersøgelse tilhører 

 Integralregningen. 



I. Har man forelagt 



.'/"-^y = i', (1) 



hvor Lag range s Betegnelse for DiCferenlialkoefficienterne af y med Hensyn til x er be- 

 nyttet, nemlig y', y'' . . . y<"\ og P er en Funktion af x, saa kan man finde en Differential- 

 ligning til Bestemmelse af 



u = Ij". 



Man finder heraf 



"■ = l^y^~''/ (2) 



og med en lille yEndring i Liouvilles Betegnelse (jonrn. de muth. t. IV, S. 421)) sættes 



II., = fi{fi—\]y^~'y'^-, 

 samt almindeligt 



(/,=/,(,u-l)....(/i — /-|-l)^"-y'. (3) 



Heraf følger for positive hele k 



««+. = 0- H) 



Af (2) findes nu ' 



U" = f,y!^-ly"J^u,, , 



altsaa ifølge (1) 



II," — ,<i l'n = !'2 • 

 Differentiation heraf giver ligefrem 



u'" — fiPu' — fxP'u ^= 2u 'u — l)^"~"7','/" -|- "a , 

 som igjen formedelst (I) frembringer 



u'" — ('/.i— ~)Pu' — /xP'u = u-^ . 

 Fortsætles disse Beregninger ganske paa samme .Maade, faas 



ii"'—{Öli—S]Pu"—{ifM — 2)P'u' — iJtP"u = Mj , 

 iJ— [iO fi' 20} Pu'" — (ÏOix— 10) P'u" — (b(t — 2) P"u' — iiP"'u^ i«5 o. s.v. 



