523 



I Følge Aualogi dannes i Almindelighed heraf, idet C,^ « betyder Antallet af Kombinationer 

 af k Elementer iblandt i, 



Rigligheden heraf indses , idet en ny Differenlialion giver el Resultat , som afhænger af 

 1 + 1 paa samme Maade som (5) af i. Da Differentiationsindiees for P og u ligefrem voxe, 

 behøver kun Regningens Virkning paa Koefficienterne at efter\ises. Det andel Led vil 

 indeholde — Pu^'-'^ som, idet (3) giver 



?(,' = {{fi — Î + I ) Piii-i + (^^- / , (6) 



faar Faktoren 



( d, 2 + i) |U — ï(i— I ) — 2 C:i = Ci+ /, 2f« — - (-'i +i.3 • 

 Det almindelige Led, hvori findes — p(* -')«('-'') , faar til Faktor 



( C,-_ k + Cl, X -f /> ," — 2 ( (■„ k + i-\- C,, A + s) = C, + /.*+/« — '- C, + ,, /, -^ 2 . 

 Det sidste Led giver umiddelbart — fiP'~"u. Resultatet faaer netop den angivne Form, 

 saa at (5) er rigtig. 



Indføres i (5) i ^^ /' + ' og sætles 



Cfi + i,k+ifi — -2 Cu+f,k+o = Ei+i, allsaa £i=0, Efi + t = ju , 

 faas i Følge (-1) 



u^t^+O — E.^Pu^f-O—E^Pu'-"--). . . .— Æ:A+/P<*-'ht(."-*'. .. .— ^r(.«-')„ = o (7) 

 som allsaa er en lineær DilTerenlialligning, hvori yf er et partikulært Integral. 



Da alle lineære Differentialligninger af anden Orden kunne bringes paa Formen (I), 

 saa er herved bevisl 



Liouvilles Theorem. 



Enhver Polens med positiv hel Exponent af cl partikulært Integral af 

 en lineær Differenlialligning af anden Orden er partikulært Integral af en 

 lineær Differenlialligning, hvis Orden er I højere end Potensexponenten, 

 tilmed saaledes sammensat , at Koefficienterne til Differentialkoefficienlerne af den højeste 

 og den næsthøjeste Orden ere henholdsvis I og 0. medens de andre ere Funktioner af x, 

 afhængige af de Funktioner, der indgaa i den givne Ligning. 



Den i (5) fremsatte almindelige Lov for Koefficienterne har Liou ville ikke angivet. 



2. Ere iji, i/. ,,.... y „ flere partikulære Integraler af (1), saa gjælder Liouvilles 

 Theorem om Potenser af dem alle med samme positive hele Exponent, allsaa vil ogsaa 



være el partikulært Integral af (7) . 



