7 525 



danne en Gruppe af fi— 1 Udtryk, og naar man isledenfor y^" tager y./' , y-i" . . . eller 

 »/„" , saa danner man liver Gang en ny Gruppe , i alt altsaa (i Grupper , der dog ogsaa 

 kunne betragtes som ju— 1 Grupper af Formen F^y/y., . . . y^=^ U'. Man faar altsaa 



U"'—nPU'-(i.P'ü= i{fi-])U'+ü.,, 



hvoraf 



U'" — (3.« - -2) PU' - f, P'U=U^. 



Denne Ligning har ganske samme Form , som den i 1 fundne , der er af Iredie Orden 

 med Flensyn til u . For at indse , at Overensstemmelsen imellem IJgningerne i U og u 

 maa vedblive, behøver man blot at vise, at 



î/,'= Zifi--2)PU, + U, 

 og de analoge med højere Indices. Umiddelbart faar man 



U,'== Z.2:Sy,"y,'y,'....y^+U, 

 og heri er 



i/i'y^ViVi ■••Vfi = PyiViViVi ■■■yft-^ 



ligesom alle de analoge Udtryk tilstede lignende Omskrivninger. Af denne Art gives der 

 |u Grupper, indeholdende Py^, Py«, Pys^-'-Pyu og forresten to første deriverede Funk- 

 tioner, (i — 2 primitive, altsaa i hver Gruppe i(i — 1) (jit — 2) Udiryk. Men delte Antal kan 

 ogsaa deles i ju — 2 Grupper, indeholdende to Differentialkoefficienter og (i — 2 primitive 

 Funktioner, altsaa fi[(i — 1) i hver. Dermed er Rigtigheden af del angivne Udtryk for f/3' 

 vist og paa denne Maade kan' man forlsælle. Størrelser af den for U angivne Form ere 

 altsaa partikulære Integraler af (7). Beviset kan ikke forudsætte, at j/j , 2/2 • • • y-i '^''^ 'id- 

 byrdes forskjellige , saa at Produkter af Potenser af y, , y» • • • y« > hvis Exponenters Sum 

 er n , ligeledes maa være partikulære Integraler af (7). 



3. Naar P i (1) har Formen 



M 



P = A„x-'"+ . ..Å.x-' + B-\-G,x-[- . .. CnX" = — , (9) 



saa vil u ikke være algebraisk rational med en Nævner, hvori der kan forekomme Faktorer 

 af Formen {x — a)ß ; thi saa vilde, der paa venstre Side af (7) ved Brøkernes Dekomposi- 

 tion forekomme et Led og kun et Led med den højeste Exponent /S + /"+l ved x — a i 

 Nævneren, saa at (7) ikke kan blive tilfredsstillet. 



Derimod ses der ikke umiddelbart at være noget lil Hinder for, at 71 faar Formen 



u --= Kyx-y+ .. . K\.r-' +L + M^x + ... M^x <'' = -^ , 



hvor r er et helt rationalt Polynomium. Betragler man de Exponenter , som x faar ved 

 Indførelse af dette m i (7) , saa findes forst de laveste Exponenter at være 



i første Led: — I;- +("+!) ; og i de andre: — ()«-|-/+/u — 11. 



