i26 



Ha der ingen andre Led findes , som kunne ophæve del førsle , niaa disse Led alle faa 



samme Exponent, saa al 



y + (i+{ = m + y+fi—l , 

 allsaa 



rø = 2 . 



Men under denne Forudsælning ville ogsaa i del mindsle flere af de følgende Led i (7) faa 

 Exponenler , som ere 1,2,3... Enheder mindre , og saaledes kunne hæve hverandre. 

 Del kommer blot an paa, om dette Forhold vil vedblive iiele Rækken af Led igjennem op 

 til dem, som have de liHjeste Exponenter. iMen disse ere ganske af samme Form som 

 de laveste, blot indeholnende d for — ;- og n for — m ; man maa allsaa faa 



Ô — jU — 1 = n-\-â — f*4- I , 



hvoraf 



n = — 2 . 



Dette viser, al P maa reduceres lil el eneste Led, altsaa 



hvis u skal være algebraisk rational, og i saa Tilfælde er del ganske overflødigt at foretage 

 videre Undersøgelse om u , fordi Diflerenlialligningen da har en vel bekjendl inlegrabel 

 Form. 



Man vil nu let kunne vise, al ( I ) med Formen (9) for P ((tO) dog und- 

 tagen) ikke kan have nogel algebraisk Integral i videste Forstand, det vil 

 sige, som er Uod i en irreduclibel algebraisk Ligning i y med Koefficienter, der ere alge- 

 braisk rationale Funktioner af x , nemlig 



V = y"' + X,y"-' + X,i/'"~^+ .... +X,„^,y + X.,. = O . (II) 



Rødderne af denne Ligning tilfredsstille nemlig ogsaa 



dx-' ^ dxdyy ^ dy^y ^ dyy 



Skal nu nogen af dem være partikulært Integral i (I), saa maa ogsaa den algebraiske Lig- 

 ning, som fremkommer ved Elimination af y' og y" imellem de to sidste Ligninger og (1), 

 nemlig 



dx^ dy'^ dxdy dy dx dy'- dx- dy^ ' 



være tilfredsstillet af en saadan Rod i Ligningen i y. Men lo algübralske Ligninger, som 

 have nogen Rod fælles , maa enten være begge réductible lil Liyniiiger af lavere Grad, 



