9 527 



eller den , som er af hojest Grad , maa have alle den andens Rødder. Det er det sidste 

 Tilfælde, som foreligger her, saa at ingen Rod i (11) kan være partikulært Integral af (I), 

 uden at de alle ere det. Kaldes Rødderne yi , y« ■ ■ -ym-, saa vil ogsaa 



tilfredsstille (7). Men dette er umuligt , fordi u er en symmetrisk Funktion af Rødderne 

 i (II), altsaa en algebraisk rational Ininktion af Koefficienterne, tilmed af a; , og det er 

 ovenfor vist , at (7) ikke har noget algebraisk rationalt Integral, 



4. Hvis det nu skal være muligt at udtrykke y explicite ved x under endelig 

 Form, saa er dertil transcendente Funktioner fornødne. Men hvilke transcendente Integraler 

 man end faar , saa maa dog et af dem have mindre sammensat Form end de andre , det 

 vil sige være transcendent af den laveste Orden. Det maa tilmed indeholde mindst en 

 enkeltleddet transcendent af denne Orden n. Spørgsmaalet bliver da, om denne transcen- 

 dente Funktion kan være en af de to, l.v eller e", idet v er transcendent af (n — i)'^ Orden; 

 thi dertil kunne henregnes alle transcendente Funktioner, som ikke opstaa alene i Inte- 

 gralregningen. 



Man maa nu altsaa først prove, om (1) har til partikulært Integral 



y = F[x, l.v) , (12) 



idet F er en algebraisk Funktion af ^.t-, af andre transcendente og algebraiske Funktioner 

 af X . Dertil kræves, idet man sætter Ö = l.v , at 



d-'F , „ d'^F v' , d-^Fv'"^ dFv'"- , dFv" „_, 

 dx''^ dxdOv ^ dd^ v'' dOv'-^dOv 



Men denne Ligning vil ogsaa tilfredsstilles, naar man sætter (tv for v, idet derved ingen 

 af « , v' og v" afhængig Størrelse udenfor Funktionstegnet i^ ændres , saa at l.fiv ligesaa 

 vel maa identisk forsvinde af Ligningen, som l.v gjør det. Man maa altsaa ogsaa have 

 følgende partikulære Integral i (I) 



y = F"{x, l.fiv) . 



Fremdeles vil Differentiation af (1) med Hensyn til (i , som antages ikke indgaaende 

 i P, give 



d'y" ^ dfj,-- ^ pd^ ^ 

 dfx"" dx'^ dfi'' 



og det viser, at Differentiation af (13) med Hensyn til /« , saa ofte man vil, giver ligesaa 

 mange andre partikulære Integraler af (1), som det skal være. Da tilmed 



d.Fjx, l.fi + l.v) _ d.F(x, l.fj.-\-l.v) 

 d.i. fi d.l .V 



Tidensk. Selik. Skr. 5. Kække, nalnrvidensk. og mathem. Afdeling. X, 9. 69 



