528 10 



saa kunne de partikulære Integraler ogsaa faas ved DifTerentiation med Hensyn til l.v og 

 Indforelse af /u = 1 , l.f»,^=Q. 



Nu kan man indse, at skjønt «/ = O er et partikulært integral i (1), saa kan dette 



dog ikke være 



d.F[x, l.v) __ 

 d.l.v ~ ' 

 da deraf vilde følge 



F(x, l.v] = y , 



hvor tfi alene afhænger af algebraiske Funktioner af x og andre Transcendenter end v , 

 men saa kom i^ ikke til at indeholde l.v, imod Forudsætningen. 



Ikke heller kunne to konsekutive Differentialkoefficienter af (12) med IJensyn til 

 l.v staa i et konstant Forhold, saasom 



d.Flx, l.v) . „, 



d.l.v -^Fix,l.v)- 



thi deraf vilde følge 



F(x , l.v) = <fe*-'" = (/D-* 



med samme Betydning af ep , som ovenfor , og saa vilde F være en algebraisk Funktion 

 af V, hvis A var rational og en exponentiel Funktion af l.v, altsaa transcendent af Or- 

 denen n + î, hvis A var irrational (jfr. Liouville journ. de math. II B. S. 9i). 



Men skulle alle disse partikulære Integraler tilhøre (1), saa maa dog hver tre af 

 dem staa i saadan Relation som 



d^.Fjx,lv) _ d.Fix,l.v) 



[d.l.v)- d.l.v ^ \ i I) 



thi ellers fik (1) flere end to indbyrdes forskjellige partikulære Integraler, hvilket er umuligt. 

 Men deraf udledes da en af de tre Former 



F(x,l.v] = ff ^e'"- '■"-{- (f., e'"''-' , 

 F[x, l.v) = (ff,^^ff.J.v)e""' , 

 F[x , l.v) = (fi + ffil.v . 



De to første ere ikke algebraiske Funktioner af l.v (jfr. Liouville journ. de math. II. B. 

 S. 69) og den sidste vilde give et nyt partikulært Integral 



d.F{x, l.v) 



d.l.v ^ f' ' 



som er uafhængigt af l.v, imod Antagelsen. 



Differentialligningen (1) kan altsaa for P bestemt ved (0) ikke have 

 noget Integral af Formen (12), hvori en Transcendent som l.v indgaar. 



