532 14 



Enten har man nu C = 0, altsaa Funktionen (p uafhængig af l.v , som strider imod det 

 antagne , eller man har C forskjellig fra nul , og saa bliver atter 



y = 1/ 5^ . 



\ de 



altsaa y ikke af höjere Orden end <, hvilket er urimeligt. Da saaledes t heller ikke 

 kan indeholde /.?', saa niaa den være en algebraisk Funktion af æ, hvis den 

 kan fremstilles explicite under endelig Form. 



7. Dersom I er en algebraisk Funktion af x i videste Forstand , saa kan den være 

 Rod i en irreduklibel algebraisk Ligning af Graden q, saasom 



8 = <« + Xi <'-'+.... A;_y< + Z, = O , (17) 



hvori KoefOcienterne ere rationale Funktioner af x . Men denne Lignings Rødder tilfreds- 

 stille ogsaa 



dS ^'^, _ 



dx dt ' 



saa at de Værdier af t, som tillige ere Integraler af (16), maa tilfredsstille den Ligning, 

 der fremkommer ved Elimination af t' imellem denne Ligning og (16), nemlig 



dS . dS , TI 



1- + -r{P—t-) = O . 

 dx^ dt ^ ' 



Da denne Ligning altsaa har Rodder tilfælles med den irreduklible algebraiske Ligning 

 i < , saa maa alle dennes Rødder tilfredsstille den sidste. Betegnes de med f.^ , t., , t.^..., 

 saa skal man have de partikulære Integraler af (1) 



{t.dx {todx {t^dx 

 Vi ^ e> , y^ = e-1 , 2/3 == e) 



Hvilkesomhelst lo af disse maa tilfredsstille en DiCferentialligning som 



^' dx y^ dx ^ 

 eller 



yiV'At-i — h) = ^^ 



Her kan man ikke have y.i = Cjj/j , da det vilde give C ^ O , altsaa 



og Ligning (17) var ikke irreduklibel. Men er O forskjellig fra nul, saa bliver y^y^ en 



algebraisk Funktion af x ligesom l.^ og t^ , som i Følge 2 (jfr. (8)) er el partikulært 



Integral af (7) for n* == 2 , og dot er forhen vist, al denne Ligning ikke kan have noget 



algebraisk Integral. Eleraf bliver det en nødvendig Følge, at Ligning (17) maa være af 



