15 533 



forste Grad i t, eller at t maa være en algebraisk rational Funktion af x, hvis 

 (1) har et endeliyt explicite ved x udtrykt Integral. 



8. Naar t skal være algebraisk rational , saa kan man efter en Dekomposition 

 give den Formen 



t = H + :s ^ , (18) 



I X — ;; )« ' 



hvor H er et helt rationalt Polynomium af Graden h, Ä" konstant. I (1) er P ligeledes 

 sammensat af en hel og en brudden Del, som her kortere gjengives saaledes 



.i;'" x'" 



hvor Q og B blive henholdsvis af n og m — 1 Grad. 

 Indfører man Udtrykket (18) i (16), findes 



-{x-pf + <^ ^ ■"•'(x-p,''^\-(x-in") •'^x'"' 



som indeholder de hele Led 



B' + n^~ + H,-Q 

 og de brudne , 



{x—i})" + ' "^ ■' {x—p)" "*" V"" {x—pf 

 idet 



_i_ 9 77 V ^ = 77 -t- ■«• 



(æ— ;;)« 1 (x—pf 



hvor Hl er hel i det höjeste af (/( — I)" Grad og L konstant. 



De Gre hele Led kunne ikke blive identisk lig nul , med mindre Q og H^ ere af 

 samme Grad , altsaa 



n = 2h . 



Heraf folger, at (1) med P af Formen (9) ikke har noget Integral under endelig 

 explicit Form, naar P er af ulige Grad. Fremdeles kræves til et saadant Integral, 

 at H er de hele Led i y'Q , medens den Rest q , der udkommer efter Roduddragningen 

 og som i det höjeste er af Graden h — 1 , bestemmer 



E, = Ç-H'. 

 Sætler man 



H = bx'' + b,x"-'+....b,.-iX + b„ 

 og 



Q = gx^'-'+g^x^-^^ g^^.ox + gA-i , 



vil Z7i være bestemt. 



De brudne Led, som indkomme i (16), naar Udtrykkel (18) indføres for t, kunne 



