17 535 



og X er et helt rationalt Polynomium 



X = X' ■{-C^X'--' -\- +Cr-lX+Cr , (24) 



hvis Grad og hvis Koefficienter maa findes ved de ubestemte Koefficienters Methode. 



Indføres (21) og (22) i (I), faar man ved Subtraktion fjernet 

 {K(K—\]^-E'x"-)Xx^~^e^^'^'' og efter Division med x^~^ e^"'^'' 



xX"+2{K+Hx)X'+{2KH+H'x)X—(qx-[-Ai)X= O . 

 For at heri Leddene af den højeste Orden r-\-k skuile forsvinde, maa 



eller 



2r = |-2^-/i. (25) 



Da nu h er positiv hel og det samme skal gjælde om r, saa maa j- — 2K være hel ikke 

 mindre end h . Er altsaa A' irrational eller brudden , saa maa det samme ^'jælde om ^ • 

 Ligeledes maa j- — 2Ä' — h være el lige Tal. 



Heraf følger, at naar ( 1) med P af Formen ( 2 I ) ikke har til Integral (2 2), 

 idet (23) — (25) gjælde, saa har den intet endeligt explicit Integral. 



For at (22) virkelig skal være et saadant Integral, maa r+Ä + l Relationer finde 

 Sled imellem Koefficienterne i H , q og A' , A^ og K. Heraf maa da kunne findes 

 endelige Værdier for Cj , c, . . . c, , foruden d( l ved (25) bestemte r , hvorefter der vil 

 dannes h Betingelsesligninger imellem de forskjellige h og g, samt A^ og Ä; ere disse 

 ikke opfyldte, har Differenlialligningen intet endeligt explicit Integral. 



10. Det simpleste Tilfælde, som falder ind herunder, synes al være det, hvor 



9 



.2ir = Ä , r = O , 



b 



idet derved Z == 1 . Med Formen (21) for P faar man da 



K \Hdx 

 y = X e' 



Indsættes det i (1), faar maa efter behørig Reduktion (jfr. 9) 



2KH+ H'x — (qx + A^) = O, 



hvis Identitet kræver foruden g = [2k-{-h)b , der var givet, 



A, = 2Kl„, g,-, = (2^+l)5,_,, g„-i = [2K+2)b,^,,....g^ = (2K-\.h—\)b, . 



Tilmed maa bemærkes, at 77, som fremkommer ved en Kvadratrods uddragning, 



Vidensk. Selsk. Ski., 5, Række, nalurvidensk. og mathem. Afdeling. X, 0. 70 



