19 537 



det konslanle Led VA,„ og 31 indeholder J,„ (jfr. 8). üe r-f-/i + ?)!— 1 Ligninger, som 

 dannes ved at sætte Koefficienterne lig nul, tjene til Bestemmelse af r + irø Størrelser, 

 nemlig foruden Exponenten r ogsaa r Koefficienter i X, ^m — 1 i N. Naar disse ere 

 fundne, bliver der dannet Ji-\-},m — 1 Betingelser, som Kocflcienterne b , c , g og A med 

 forskjellige Indices skulle opfylde. Gjøre de ikke det, har Differentialligningen 

 ingen endelig explicit Funktion til partikulært Integral. 



Udbyttet af denne Undersøgelse er, at den her omhandlede Dlffereiilialligning kun 

 sjeldent tilsteder et endeligt explicit Integral; det finder sit Udtryk i folgende almindelige 



Theorem. 

 Differentialligningen 



y' — {H-+g+ - — -- — h = 0. 



hvor 77 og g ere hele rationale algebraiske Funktioner af.r, henholdsvis af 

 Graden k og h — 1, har intet endeligt explicit Integral, med mindre 



?« er et lige Tal; 

 det kan da være af Formen 



y = Ae'' ' dx , 



hvor X og N ere hele rationale algebraiske Funktioner af x, den forste af 

 Graden r, den sidste af Graden Jw — 1 og med det konstante Led VA„., 

 saafremt de ubekjendte Størrelser 



r , Koefficien terne i A' og N , r+ ?, »j i Antal , 



kunne bestemmes saaledes, at de tilligemed Koefficienterne i H og g samt 

 Al , A^ .... Am tilfredsstille r + h-\-m—l Ligninger. Ellers har Differential- 

 ligningen intet endeligt explicit Integral. 



II. Antages i (1) 



F = §^ (28) 



hvor 31 og N ere hele rationale Funktioner , henholdsvis af m'" og n"" Grad , saa vil der 

 i (7 1 indgaa 



dx N"- 



^■N 3L 



idet 31^ = N3r — 3IN', 



j4^ = "^ , idet 3L,^NM'—23[.N' o. s. v. , 

 dx- N^ - 1 1 1 



